Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente:

$\begin{array}{r}y-z=p+3\\ p^{2}x-z=5\\ x-y=3\end{array}\}$

a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $p$. [1,25 puntos]
b) Resuelva el sistema para el caso $p=-1$. [0,5 puntos]
c) Para el caso $p=-1$, ¿hay alguna solución que cumpla, además, $xy=10$? En caso afirmativo, indique cuántas hay y encuéntrelas todas. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{diferentes}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{p}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Ordenamos las incógnitas como $x$, $y$, $z$ y escribimos la matriz de los coeficientes y la ampliada.

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ p^2& 0& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\right)A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& -1& p+3\\ p^2& 0& -1& 5\\ 1& -1& 0& 3\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ p^2& 0& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\mid =p^2-1=(p-1)(p+1)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow p=1\text{ o }p=-1$

Si $p\mathrm{\ne }1$ y $p\mathrm{\ne }-1$, entonces $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$, igual al número de incógnitas: el sistema es compatible determinado.

En los dos casos que anulan el determinante, el menor $\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 0\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0$ garantiza que $\mathrm{rg}(A)=2$, así que todo depende de la ampliada.

Para $p=1$, sumando la primera y la tercera ecuación se obtiene $x-z=p+3+3=7$, que contradice a la segunda, $x-z=5$. El sistema es incompatible, $\mathrm{rg}(A^{\ast })=3$.

Para $p=-1$, la misma suma da $x-z=2+3=5$, que es exactamente la segunda ecuación: la tercera fila de $A^{\ast }$ es combinación lineal de las otras dos y $\mathrm{rg}(A^{\ast })=2$. El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.



Con $p=-1$ el sistema queda

$\begin{array}{r}y-z=2\\ x-z=5\\ x-y=3\end{array}\}$

y, como acabamos de ver, la tercera ecuación es la diferencia de las dos primeras, de modo que sobra. Tomamos $z=\lambda$ como parámetro.

$y=2+\lambda x=5+\lambda$

$(x,y,z)=(5+\lambda ,2+\lambda ,\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$

Las infinitas soluciones son los puntos de la recta que pasa por $(5,2,0)$ y tiene vector director $(1,1,1)$.



Imponemos la condición sobre la solución general del apartado anterior.

$(5+\lambda )(2+\lambda )=10\Rightarrow {\lambda }^2+7\lambda +10=10$

${\lambda }^2+7\lambda =0\Rightarrow \lambda (\lambda +7)=0\Rightarrow \lambda =0\text{ o }\lambda =-7$

Los dos valores son válidos, porque el parámetro puede tomar cualquier valor real.

$\lambda =0\Rightarrow (x,y,z)=(5,2,0)$

$\lambda =-7\Rightarrow (x,y,z)=(-2,-5,-7)$

Comprobamos la condición en las dos: $5\cdot 2=10$ y $(-2)\cdot (-5)=10$.

Sí las hay, y son exactamente dos: $(5,2,0)$ y $(-2,-5,-7)$.