Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones, con $m\in \mathbb{R}$:

$\{\begin{array}{l}mx+7y+5z=0\\ x+my+z=3\\ y+z=-2\end{array}$

a) Discuta el sistema en función del parámetro $m$. [1,5 puntos]

b) Resuélvalo para el caso $m=1$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada con el número de incógnitas, 3.

$M=\left(\begin{array}{ccc}m& 7& 5\\ 1& m& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}m& 7& 5& 0\\ 1& m& 1& 3\\ 0& 1& 1& -2\end{array}\right)$

Desarrollamos el determinante por la tercera fila, que tiene un cero.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=m(m-1)-7(1-0)+5(1-0)=m^2-m-2$

$m^2-m-2=0\Rightarrow m={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=2\\ m=-1\end{array}$

Si $m\mathrm{\ne }2$ y $m\mathrm{\ne }-1$, entonces $\mathrm{rg}(M)=\mathrm{rg}(M^{\ast })=3$ y el sistema es compatible determinado.

Si $m=2$, el menor $\mid \begin{array}{cc}2& 7\\ 1& 2\end{array}\mid =-3\mathrm{\ne }0$ da $\mathrm{rg}(M)=2$. Al orlarlo con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}2& 7& 0\\ 1& 2& 3\\ 0& 1& -2\end{array}\mid =2(-4-3)-7(-2-0)+0=-14+14=0$

Luego $\mathrm{rg}(M^{\ast })=2$ y el sistema es compatible indeterminado.

Si $m=-1$, el menor $\mid \begin{array}{cc}-1& 7\\ 1& -1\end{array}\mid =-6\mathrm{\ne }0$ da $\mathrm{rg}(M)=2$. Al orlarlo:

$\mid \begin{array}{ccc}-1& 7& 0\\ 1& -1& 3\\ 0& 1& -2\end{array}\mid =-1(2-3)-7(-2-0)+0=1+14=15\mathrm{\ne }0$

Luego $\mathrm{rg}(M^{\ast })=3\mathrm{\ne }\mathrm{rg}(M)=2$ y el sistema es incompatible.

En resumen: compatible determinado si $m\mathrm{\ne }2$ y $m\mathrm{\ne }-1$, compatible indeterminado si $m=2$ e incompatible si $m=-1$.



Para $m=1$ el sistema es compatible determinado, con lo que tiene solución única.

$\{\begin{array}{l}x+7y+5z=0\\ x+y+z=3\\ y+z=-2\end{array}$

Llevando la tercera ecuación a la segunda se despeja $x$ directamente.

$x+(y+z)=3\Rightarrow x-2=3\Rightarrow x=5$

Sustituimos $x=5$ y $y=-2-z$ en la primera ecuación.

$5+7(-2-z)+5z=0\Rightarrow 5-14-7z+5z=0\Rightarrow -2z=9\Rightarrow z=-{\displaystyle \frac{9}{2}}$

$y=-2+{\displaystyle \frac{9}{2}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$

Comprobamos en la primera ecuación: $5+7\cdot {\displaystyle \frac{5}{2}}+5\cdot (-{\displaystyle \frac{9}{2}})=5+{\displaystyle \frac{35}{2}}-{\displaystyle \frac{45}{2}}=0$.

La solución es $x=5$, $y={\displaystyle \frac{5}{2}}$, $z=-{\displaystyle \frac{9}{2}}$.