Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

La función que describe la altitud $A$ de un terreno (en metros) sobre un tramo de 500 metros es

$A(x)=-\mathrm{0,0001}{x}^3+\mathrm{0,05}{x}^2-4x+200,$

donde $x\in [0,500]$ es la distancia recorrida horizontalmente, medida en metros.

a) Demuestre que existe al menos un punto $x$ donde la altitud es 0 dentro del tramo considerado. Indicación: se puede hacer uso del teorema de Bolzano. [1,5 puntos]

b) Estudie los puntos críticos de la función y su crecimiento y decrecimiento para concluir si ese punto es único o no. ¿Lo es? Justifique la respuesta. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Demuestre}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{existe}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{x}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{altitud}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{0}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tramo}}\mathbf{\text{considerado.}}\mathbf{\text{Indicaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n:}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{uso}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{teorema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Bolzano.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Que la altitud sea nula significa que la función se anula, así que basta con probar que $A(x)$ tiene alguna raíz en $[0,500]$. El teorema de Bolzano lo garantiza sin necesidad de resolver la ecuación de tercer grado.

La función es polinómica, luego es continua en todo $\mathbb{R}$ y, en particular, en el intervalo cerrado $[0,500]$. Evaluamos en los extremos:

$A(0)=200>0$

$A(500)=-\mathrm{0,0001}\cdot {500}^3+\mathrm{0,05}\cdot {500}^2-4\cdot 500+200$

$A(500)=-12500+12500-2000+200=-1800<0$

Se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano:

$A(0)\cdot A(500)<0\Rightarrow \mathrm{\exists }c\in (0,500)\text{ tal que }A(c)=0$

Existe, pues, al menos un punto del tramo en el que la altitud del terreno es nula: el recorrido empieza a 200 m sobre el nivel de referencia y acaba 1800 m por debajo, de modo que en algún punto lo cruza.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{cr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ticos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{concluir}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{es}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nico}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{no.}}\mathbf{\text{¿Lo}}\mathbf{\text{es?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Bolzano asegura que hay al menos una raíz, pero no dice cuántas. Para saber si es única estudiamos la monotonía: en cada tramo en el que la función es monótona puede cortar al eje como mucho una vez, así que basta con ver en cuáles de ellos hay cambio de signo.

$A^{\mathrm{\prime }}(x)=-\mathrm{0,0003}{x}^2+\mathrm{0,1}x-4$

$A^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \mathrm{0,0003}{x}^2-\mathrm{0,1}x+4=0$

$x={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}\pm \sqrt{\mathrm{0,01}-4\cdot \mathrm{0,0003}\cdot 4}}{2\cdot \mathrm{0,0003}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}\pm \sqrt{\mathrm{0,0052}}}{\mathrm{0,0006}}}$

$x_1\approx \mathrm{46,48},x_2\approx \mathrm{286,85}$

Los dos puntos críticos están dentro del tramo. Como el coeficiente principal de $A^{\mathrm{\prime }}(x)$ es negativo, la parábola que la representa es cóncava hacia abajo y su signo es negativo fuera de las raíces y positivo entre ellas.



Evaluamos la función en los dos puntos críticos:

$A(\mathrm{46,48})\approx \mathrm{112,06}>0$

$A(\mathrm{286,85})\approx \mathrm{806,46}>0$

En $[0;\mathrm{46,48}]$ la función decrece de $200$ a $\mathrm{112,06}$, y en $[\mathrm{46,48};\mathrm{286,85}]$ crece de $\mathrm{112,06}$ a $\mathrm{806,46}$: en ninguno de los dos tramos hay cambio de signo, luego en ninguno de ellos se anula. En $[\mathrm{286,85};500]$ la función decrece de $\mathrm{806,46}$ a $-1800$, así que hay cambio de signo, y por ser estrictamente decreciente solo puede cortar al eje una vez.

Sí, el punto es único: la altitud se anula en un solo punto del tramo, situado entre los 286,85 m y los 500 m recorridos.