Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.1 Dada la recta $r:\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda \\ y=\lambda \\ z=2-\lambda \end{array}$ y la recta $s:\{\begin{array}{l}x=-1\\ x+2y+z=0\end{array}$, calcular:

3.1.1 (1 punto) Si existen, las coordenadas del punto de corte de ambas rectas.
3.1.2 (1 punto) La ecuación del plano que contiene a ambas rectas.
3.1.3 (0.5 puntos) La distancia del punto $P=(1,0,2)$ a dicho plano.

$r:\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda \\ y=\lambda \\ z=2-\lambda \end{array}\Rightarrow r:\{\begin{array}{l}\text{Punto}\to P(1,0,2)\\ \text{Vector director}\to {\vec{V}}_r=(2,1,-1)\end{array}$

$s:\{\begin{array}{l}x=-1\\ x+2y+z=0\end{array}\Rightarrow y=\alpha ,\alpha \in \mathbb{R}\Rightarrow s:\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=\alpha \\ z=1-2\alpha \end{array}\Rightarrow S:\{\begin{array}{l}\text{ Punto}\to Q(-1,0,1)\\ \text{Vector director}\to {\vec{V}}_s=(0,1,-2)\end{array}$

$\mathbf{\text{3.1.1}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{existen,}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{rectas.}}$

Estudiamos la posición relativa. Determinamos el vector $\overrightarrow{PQ}$:

$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=(-1,0,1)-(1,0,2)=(-2,0,-1)$

Construimos las matrices $M$ y $M^{\ast }$ y estudiamos sus rangos:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -2\\ 1& 1& 0\\ -1& -2& -1\end{array}\right)$

Rango $(M)$:

$\mid \begin{array}{c}2\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0$

$\mid \begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{rg}(M)=2$

Rango $(M^{\ast })$:

$\mid \begin{array}{ccc}2& 0& -2\\ 1& 1& 0\\ -1& -2& -1\end{array}\mid =0$

$\mathrm{rg}(M^{\ast })=2$

Como $\mathrm{rg}(M)=\mathrm{rg}(M^{\ast })=2$, las rectas se cortan. El punto de corte por tanto:

$\{\begin{array}{l}1+2\lambda =-1\\ \lambda =\alpha \\ 2-\lambda =1-2\alpha \end{array}\Rightarrow 2\lambda =-2\Rightarrow \lambda =-1$

$R\in r:(1+2\lambda ,\lambda ,2-\lambda )\Rightarrow R(-1,-1,3)$

$\mathbf{\text{3.1.2}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{rectas.}}$











${\vec{n}}_{\pi }={\vec{V}}_r\times {\vec{V}}_s$

${\vec{n}}_{\pi }={\vec{V}}_r\times {\vec{V}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 1& -1\\ 0& 1& -2\end{array}\mid =(-1,4,2)$

$\pi :Ax+By+Cz+D=0$

${\vec{n}}_{\pi }=(-1,4,2)\Rightarrow \pi :-x+4y+2z+D=0$

$P(1,0,2)\in \pi \Rightarrow -1+2\cdot 2+D=0\Rightarrow D=-3$

$\Rightarrow \pi :-x+4y+2z-3=0$







Como acabamos de ver, el punto $P(1,0,2)$ pertence al plano $\pi$. Por tanto, $d(P,\pi )=0$ u.