Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

En un edificio hay dos ascensores. Cada vecino, cuando utiliza el ascensor, lo hace en el primero el 60 % de las veces y en el segundo el 40 %. El porcentaje de fallos del primer ascensor es del 3 % y del segundo es del 8 %.

a) Un vecino usa un ascensor. ¿Cuál es la probabilidad de que el ascensor falle? [1,25 puntos]

b) Otro día, un vecino coge un ascensor y le falla. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido el segundo? [1,25 puntos]

Nombramos los sucesos:

$A_1\equiv$ el vecino usa el primer ascensor

$A_2\equiv$ el vecino usa el segundo ascensor

$F\equiv$ el ascensor falla

Los datos del enunciado son una probabilidad inicial para cada ascensor y su porcentaje de fallos, que es una probabilidad condicionada.

$P(A_1)=\mathrm{0,60},P(A_2)=\mathrm{0,40}$

$P(F\mathrm{\mid }{A}_1)=\mathrm{0,03},P(F\mathrm{\mid }{A}_2)=\mathrm{0,08}$

El árbol del problema es:



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{vecino}}\mathbf{\text{usa}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{ascensor.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{ascensor}}\mathbf{\text{falle?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los dos ascensores forman un sistema completo de sucesos, de modo que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando los dos caminos que terminan en $F$.

$P(F)=P(A_1)\cdot P(F\mathrm{\mid }{A}_1)+P(A_2)\cdot P(F\mathrm{\mid }{A}_2)$

$P(F)=\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,03}+\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,08}$

$P(F)=\mathrm{0,018}+\mathrm{0,032}=\mathrm{0,05}$

La probabilidad de que el ascensor falle es $\mathrm{0,05}$, es decir, un $5\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Otro}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{vecino}}\mathbf{\text{coge}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{ascensor}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{falla.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{segundo?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se conoce el resultado y se pregunta por cuál de los dos ascensores era, de modo que se trata de una probabilidad a posteriori y se aplica el teorema de Bayes.

$P(A_2\mathrm{\mid }F)={\displaystyle \frac{P(A_2)\cdot P(F\mathrm{\mid }{A}_2)}{P(F)}}$

$P(A_2\mathrm{\mid }F)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,08}}{\mathrm{0,05}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,032}}{\mathrm{0,05}}}$

$P(A_2\mathrm{\mid }F)=\mathrm{0,64}$

Si el ascensor ha fallado, la probabilidad de que fuese el segundo es $\mathrm{0,64}$, es decir, un $64\mathrm{\%}$: bastante más que el $40\mathrm{\%}$ de veces que se usa, porque falla casi el triple que el primero.