Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Una empresa de logística transporta mercancía utilizando camiones pequeños, medianos y grandes. Para el transporte de toda la mercancía se utilizan un total de 10 camiones. Cada camión pequeño transporta 1 tonelada de mercancía, cada mediano 2 toneladas y cada grande 3 toneladas. La carga total que ha de transportarse es de $(m+9)$ toneladas, con $m\in \mathbb{R}$. El transporte de la mercancía tiene un coste asociado de dos unidades por cada camión pequeño, de 3 unidades por cada camión mediano y de $7-m$ unidades por cada camión grande. El coste total del transporte es de 22 unidades.

a) Plantee el sistema de ecuaciones lineales que modeliza la situación. [0,75 puntos]

b) Determine un valor de $m$ para el que el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo. [1 punto]

c) Resuelva el sistema para $m=1$. ¿Tiene sentido esta solución para el problema dado? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{modeliza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $x$ al número de camiones pequeños, $y$ al de medianos y $z$ al de grandes. Las tres condiciones del enunciado —número de camiones, carga transportada y coste— dan una ecuación cada una:

$\{\begin{array}{rcrcrcl}x& +& y& +& z& =& 10\\ x& +& 2y& +& 3z& =& m+9\\ 2x& +& 3y& +& (7-m)z& =& 22\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{infinitas}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El sistema tiene infinitas soluciones cuando es compatible indeterminado, y para eso el determinante de la matriz de coeficientes ha de anularse:

$\det (A)=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 2& 3& 7-m\end{array}\mid =1(14-2m-9)-1(7-m-6)+1(3-4)$

$\det (A)=(5-2m)-(1-m)-1=3-m$

que se anula solo para $m=3$. Con ese valor el sistema queda

$\{\begin{array}{rcrcrcl}x& +& y& +& z& =& 10\\ x& +& 2y& +& 3z& =& 12\\ 2x& +& 3y& +& 4z& =& 22\end{array}$

y se comprueba que la tercera ecuación es la suma de las dos primeras, tanto en los coeficientes como en el término independiente ($10+12=22$). Sobra, por tanto, y el sistema es compatible indeterminado: rango 2 con tres incógnitas, un grado de libertad.

Se resuelve con las dos primeras. Restándolas:

$y+2z=2\Rightarrow y=2-2z$

$x=10-y-z=10-(2-2z)-z=8+z$

$(x,y,z)=(8+z,2-2z,z),z\in \mathbb{R}$

Ahora bien, el problema no admite cualquier solución: el número de camiones ha de ser un entero no negativo, y $y=2-2z\ge 0$ obliga a $z\le 1$. Solo hay dos repartos posibles:

$z=0:(8,2,0)z=1:(9,0,1)$

es decir, u ocho pequeños y dos medianos, o nueve pequeños y uno grande. En ambos casos son 10 camiones y 12 toneladas.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Resuelva}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{¿Tiene}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{dado?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Con $m=1$ el determinante vale $3-1=2\mathrm{\ne }0$, así que el sistema es compatible determinado y tiene solución única. Queda

$\{\begin{array}{rcrcrcl}x& +& y& +& z& =& 10\\ x& +& 2y& +& 3z& =& 10\\ 2x& +& 3y& +& 6z& =& 22\end{array}$

Restando la primera de la segunda: $y+2z=0$. Restando el doble de la primera a la tercera: $y+4z=2$. De las dos:

$2z=2\Rightarrow z=1\Rightarrow y=-2\Rightarrow x=10-(-2)-1=11$

$(x,y,z)=(11,-2,1)$

Matemáticamente la solución es correcta —se comprueba en las tres ecuaciones—, pero no tiene ningún sentido para el problema: $y=-2$ significaría emplear menos dos camiones medianos. Con $m=1$ los datos del enunciado son incompatibles con una flota real.