Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Para estudiar la cobertura de comunicaciones en una zona montañosa se utilizan tres antenas situadas en los puntos $A(1,2,1)$, $B(3,0,2)$ y $C(2,3,3)$, que determinan el plano del terreno en dicha zona. Un dron de mantenimiento se desplaza siguiendo la trayectoria rectilínea $r:(x,y,z)=(0,1,4)+t(1,1,-1)$, con $t\in \mathbb{R}$.

a) Calcule la ecuación del plano que pasa por los puntos $A$, $B$ y $C$. [1 punto]

b) Estudie la posición relativa de la trayectoria del dron respecto del plano determinado por las tres antenas. En caso de que se corten, calcule el punto de corte. [0,75 puntos]

c) Calcule la distancia mínima entre la trayectoria del dron y el punto $A$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{A,}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{C.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










Se toman dos vectores del plano con origen en $A$:

$\overrightarrow{AB}=B-A=(2,-2,1)$

$\overrightarrow{AC}=C-A=(1,1,2)$

y su producto vectorial da el vector normal.





$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{\mathrm{ı}}& \vec{\mathrm{ȷ}}& \vec{k}\\ 2& -2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\mid =(-4-1)\vec{\mathrm{ı}}-(4-1)\vec{\mathrm{ȷ}}+(2+2)\vec{k}=(-5,-3,4)$

Con el punto $A(1,2,1)$:

$-5(x-1)-3(y-2)+4(z-1)=0\Rightarrow -5x-3y+4z+7=0$

$\pi \equiv 5x+3y-4z=7$

Se comprueba con los otros dos puntos: $B:15+0-8=7$ y $C:10+9-12=7$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{dron}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{determinado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{antenas.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{corten,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La recta tiene vector director $\vec{v}=(1,1,-1)$. Se compara con el normal del plano:

$\vec{v}\cdot \vec{n}=1\cdot 5+1\cdot 3+(-1)\cdot (-4)=5+3+4=12\mathrm{\ne }0$

Como el producto escalar no es nulo, la dirección de la recta no es paralela al plano: la recta y el plano son secantes y se cortan en un único punto. Para hallarlo se sustituye la recta en el plano:

$5t+3(1+t)-4(4-t)=7\Rightarrow 5t+3+3t-16+4t=7\Rightarrow 12t=20\Rightarrow t=\frac{5}{3}$

$I=(\frac{5}{3},1+\frac{5}{3},4-\frac{5}{3})=(\frac{5}{3},\frac{8}{3},\frac{7}{3})$

El dron atraviesa el plano del terreno en el punto $I(\frac{5}{3},\frac{8}{3},\frac{7}{3})$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{dron}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{A.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La distancia de un punto a una recta se obtiene con el producto vectorial. Tomando el punto $R_0(0,1,4)$ de la recta:

$\overrightarrow{A{R}_0}=R_0-A=(-1,-1,3)$

$\overrightarrow{A{R}_0}\times \vec{v}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{\mathrm{ı}}& \vec{\mathrm{ȷ}}& \vec{k}\\ -1& -1& 3\\ 1& 1& -1\end{array}\mid =(1-3)\vec{\mathrm{ı}}-(1-3)\vec{\mathrm{ȷ}}+(-1+1)\vec{k}=(-2,2,0)$

$d(A,r)=\frac{\mid \overrightarrow{A{R}_0}\times \vec{v}\mid }{\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }}=\frac{\sqrt{4+4+0}}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

$d(A,r)=\frac{2\sqrt{6}}{3}\approx \mathrm{1,63}$

El dron pasa, como mínimo, a ${\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}\approx \mathrm{1,63}$ unidades de la antena $A$. La interpretación geométrica de la fórmula es sencilla: el numerador es el área del paralelogramo que forman $\overrightarrow{A{R}_0}$ y $\vec{v}$, y al dividirla por la base $\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }$ queda la altura, que es justo la distancia buscada.