Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

a) Calcular ${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{x^3-5}{\sqrt{x}}}dx}$. [1,25 puntos]

b) Probar que la función $f(x)=2-e^x$ posee una sola raíz real, encontrando un intervalo que la contenga. [1,25 puntos]

El integrando no es una función racional, pero se convierte en una suma de potencias de $x$ sin más que repartir el denominador.

${\displaystyle \frac{x^3-5}{\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{x^3}{x^{1\mathrm{/}2}}}-{\displaystyle \frac{5}{x^{1\mathrm{/}2}}}=x^{5\mathrm{/}2}-5x^{-1\mathrm{/}2}$

Calculamos una primitiva integrando cada potencia por separado:

$\int (x^{5\mathrm{/}2}-5x^{-1\mathrm{/}2})dx={\displaystyle \frac{x^{7\mathrm{/}2}}{7\mathrm{/}2}}-5\cdot {\displaystyle \frac{x^{1\mathrm{/}2}}{1\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{2}{7}}{x}^{7\mathrm{/}2}-10\sqrt{x}$

Aplicando la regla de Barrow:

${\int }_0^1{\displaystyle \frac{x^3-5}{\sqrt{x}}}dx={[{\displaystyle \frac{2}{7}}{x}^{7\mathrm{/}2}-10\sqrt{x}]}_0^1=({\displaystyle \frac{2}{7}}-10)-(0-0)=-{\displaystyle \frac{68}{7}}$

Obsérvese que el integrando no está acotado en $x=0$, pero la primitiva sí es continua en $x=0$ y vale $0$, de modo que la integral es convergente y el valor obtenido es correcto.

El valor de la integral es $-{\displaystyle \frac{68}{7}}\approx -\mathrm{9,714}$.



Hay que probar dos cosas: que existe al menos una raíz y que no puede haber dos. La primera es consecuencia del teorema de Bolzano y la segunda, de la monotonía.

$f(x)=2-e^x$ es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$, por ser diferencia de una constante y una exponencial.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-e^x<0\text{para todo }x\in \mathbb{R}$

Al ser la derivada negativa en todo punto, $f$ es estrictamente decreciente en $\mathbb{R}$ y por tanto inyectiva: no puede tomar el valor $0$ dos veces. A lo sumo hay una raíz.

Buscamos ahora un intervalo en cuyos extremos $f$ cambie de signo:

$f(0)=2-e^0=2-1=1>0$

$f(1)=2-e\approx -\mathrm{0,718}<0$

Como $f$ es continua en $[0,1]$ y $f(0)\cdot f(1)<0$, el teorema de Bolzano garantiza que existe $c\in (0,1)$ con $f(c)=0$.

Uniendo las dos conclusiones, $f$ tiene exactamente una raíz real y está en el intervalo $(0,1)$. De hecho, despejando, $2-e^x=0\Rightarrow x=\ln 2\approx \mathrm{0,693}$.