Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2024

Se sabe que la cantidad de tiempo que los habitantes de Astorga usan el móvil cada día sigue aproximadamente una distribución normal de media 160 minutos y desviación típica 30 minutos. Calcular:

a) La probabilidad de que un habitante determinado de Astorga use el móvil cada día menos de dos horas. [1 punto]

b) El porcentaje de habitantes de Astorga que usan el móvil cada día más de tres horas y 50 minutos. [1 punto]

Llamamos $X$ al tiempo diario, en minutos, que un habitante de Astorga usa el móvil. Según el enunciado

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(160;30)$

y para consultar la tabla usaremos la variable tipificada $Z={\displaystyle \frac{X-160}{30}}\sim N(0,1)$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{habitante}}\mathbf{\text{determinado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Astorga}}\mathbf{\text{use}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{vil}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{horas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Lo primero es pasar el dato a las unidades de la distribución: dos horas son $120$ minutos.

$P(X<120)=P(Z<{\displaystyle \frac{120-160}{30}})=P(Z<-\mathrm{1,33})$

La tabla solo recoge valores positivos, de modo que aprovechamos la simetría de la campana:

$P(Z<-\mathrm{1,33})=1-P(Z<\mathrm{1,33})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,33})$

$P(X<120)=1-\mathrm{0,9082}=\mathrm{0,0918}$



La probabilidad de que un habitante use el móvil menos de dos horas al día es $\mathrm{0,0918}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{habitantes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Astorga}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{usan}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{vil}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{minutos.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Tres horas y cincuenta minutos son $3\cdot 60+50=230$ minutos.

$P(X>230)=P(Z>{\displaystyle \frac{230-160}{30}})=P(Z>\mathrm{2,33})$

$P(Z>\mathrm{2,33})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,33})=1-\mathrm{0,9901}=\mathrm{0,0099}$



Solo el $\mathrm{0,99}\mathrm{\%}$ de los habitantes de Astorga usa el móvil más de tres horas y cincuenta minutos al día, es decir, aproximadamente uno de cada cien.