Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2022

El tiempo de vuelo de un avión Santander – Madrid sigue una distribución normal de media 60 minutos y desviación típica 5 minutos.

a) Para conectar con el siguiente vuelo con destino Sevilla, se necesita que el avión tarde menos de $T=70$ minutos. Calcule la probabilidad de perder el avión a Sevilla. [1,25 puntos]

b) Calcule cuánto debe valer $T$ para que la probabilidad de perder el avión sea del 0,1 %. [1,25 puntos]

Llamamos $X$ al tiempo de vuelo Santander-Madrid, que según el enunciado sigue la ley

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(60;5)$

y tipificamos, que es lo que permite usar la tabla de la normal estándar.

$Z={\displaystyle \frac{X-60}{5}}\sim N(0,1)$



Se pierde la conexión cuando el vuelo tarda $70$ minutos o más, así que hay que calcular la probabilidad de la cola derecha.

$P(X>70)=P(Z>{\displaystyle \frac{70-60}{5}})=P(Z>2)$

La tabla da el área acumulada, de modo que pasamos al suceso contrario:

$P(Z>2)=1-\mathrm{\Phi }(2)=1-\mathrm{0,9772}=\mathrm{0,0228}$



La probabilidad de perder el avión a Sevilla es $\mathrm{0,0228}$, es decir, un $\mathrm{2,28}\mathrm{\%}$ de los vuelos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{valer}}\mathit{T}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{perder}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{avi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{0,1}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora la incógnita es el tiempo de conexión. Imponemos que la cola derecha valga $\mathrm{0,001}$.

$P(X>T)=\mathrm{0,001}\Rightarrow P(X<T)=\mathrm{0,999}$

Buscamos en la tabla el valor tipificado que deja a su izquierda esa área:

$P(Z<{\displaystyle \frac{T-60}{5}})=\mathrm{0,999}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(\mathrm{3,09})=\mathrm{0,9990}\Rightarrow {\displaystyle \frac{T-60}{5}}=\mathrm{3,09}$

$T=60+\mathrm{3,09}\cdot 5=60+\mathrm{15,45}=\mathrm{75,45}$



El tiempo de conexión debe ser de $\mathrm{75,45}$ minutos para que la probabilidad de perder el avión baje al $\mathrm{0,1}\mathrm{\%}$.