Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2024

La población de mujeres de 18 años sigue una distribución normal de media una altura de 175 cm y una desviación estándar de 7,41 cm. Supongamos que la probabilidad de que una persona se llame Lucía es 0,006.

a) Calcule la probabilidad de que una mujer de 18 años se llame Lucía $\mathbf{\text{y}}$ mida más de 180 cm. [1,25 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que una mujer de 18 años se llame Lucía $\mathbf{\text{o}}$ mida más de 180 cm. [1,25 puntos]

Llamamos $X$ a la altura de una mujer de 18 años y $L$ al suceso «se llama Lucía», y suponemos que el nombre y la estatura son independientes, que es lo que permite multiplicar sus probabilidades.

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(175;\mathrm{7,41}),P(L)=\mathrm{0,006}$

Los dos apartados necesitan la misma probabilidad, así que la calculamos una sola vez tipificando la variable.

$Z={\displaystyle \frac{X-175}{\mathrm{7,41}}}\sim N(0,1)$

$P(X>180)=P(Z>{\displaystyle \frac{180-175}{\mathrm{7,41}}})=P(Z>\mathrm{0,67})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,67})$

$=1-\mathrm{0,7486}=\mathrm{0,2514}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{mujer}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{18}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{llame}}\mathbf{\text{Luc}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mtext\; mathvariant="bold">y</mtext>}\mathbf{\text{mida}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{180}}\mathbf{\text{cm.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La conjunción «y» es la intersección de los dos sucesos y, por ser independientes, su probabilidad es el producto.

$P(L\cap \{X>180\})=P(L)\cdot P(X>180)=\mathrm{0,006}\cdot \mathrm{0,2514}$

$=\mathrm{0,0015084}\approx \mathrm{0,0015}$

La probabilidad de que una mujer de 18 años se llame Lucía y mida más de $180\text{ cm}$ es $\mathrm{0,0015}$, es decir, un $\mathrm{0,15}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{mujer}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{18}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{llame}}\mathbf{\text{Luc}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mtext\; mathvariant="bold">o</mtext>}\mathbf{\text{mida}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{180}}\mathbf{\text{cm.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La disyunción «o» es la unión, y como los dos sucesos no son incompatibles hay que descontar la intersección calculada en el apartado anterior.

$P(L\cup \{X>180\})=P(L)+P(X>180)-P(L\cap \{X>180\})$

$=\mathrm{0,006}+\mathrm{0,2514}-\mathrm{0,0015084}=\mathrm{0,2558916}$

La probabilidad de que una mujer de 18 años se llame Lucía o mida más de $180\text{ cm}$ es $\mathrm{0,2559}$, es decir, un $\mathrm{25,59}\mathrm{\%}$.