Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2024

Las alturas de hombres de 17 años siguen una distribución normal de media 175 centímetros y desviación estándar 7,41 centímetros. Sea $A$ el suceso formado por los hombres de 17 años que miden más de 170 centímetros y $B$ el suceso de las personas de 17 años que realizan la EBAU en una región determinada. Tenemos que $P(B^c)=\mathrm{0,35}$, donde $B^c$ denota el suceso contrario de $B$.

a) Calcule $P(A)$. [1 punto]

b) Calcule $P(B)$. [0,5 puntos]

c) Calcule $P(A\cap B^c)$. [0,5 puntos]

d) Calcule $P(A\cup B)$. [0,5 puntos]

Llamamos $X$ a la altura de un hombre de 17 años, que según el enunciado se distribuye

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(175;\mathrm{7,41})$

Los apartados c) y d) combinan un suceso de altura con otro de matrícula, y para poder operar con ellos suponemos que $A$ y $B$ son independientes.



El suceso $A$ es «medir más de $170\text{ cm}$», así que tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal.

$Z={\displaystyle \frac{X-175}{\mathrm{7,41}}}\sim N(0,1)$

$P(A)=P(X>170)=P(Z>{\displaystyle \frac{170-175}{\mathrm{7,41}}})=P(Z>-\mathrm{0,67})$

Las tablas solo recogen valores positivos, así que llevamos el suceso al semieje positivo por la simetría de la campana:

$P(Z>-\mathrm{0,67})=P(Z<\mathrm{0,67})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,67})=\mathrm{0,7486}$



$P(A)=\mathrm{0,7486}$



Basta pasar al suceso contrario del que da el enunciado.

$P(B)=1-P(B^c)=1-\mathrm{0,35}=\mathrm{0,65}$



Si $A$ y $B$ son independientes, también lo son $A$ y $B^c$, de modo que la probabilidad de la intersección es el producto.

$P(A\cap B^c)=P(A)\cdot P(B^c)=\mathrm{0,7486}\cdot \mathrm{0,35}=\mathrm{0,26201}$



Los dos sucesos no son incompatibles, así que en la unión hay que descontar la intersección, que de nuevo es el producto por la independencia.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B)$

$=\mathrm{0,7486}+\mathrm{0,65}-\mathrm{0,7486}\cdot \mathrm{0,65}=\mathrm{1,3986}-\mathrm{0,48659}=\mathrm{0,91201}$

La probabilidad de que un hombre de 17 años mida más de $170\text{ cm}$ o realice la EBAU en esa región es $\mathrm{0,91201}$.