Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · Aragón · 2021

Para la siguiente función

$f(x)={\displaystyle \frac{2x^3-x^2}{x^2-x-2}}$

a) Estudie el dominio de definición y calcule las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas caso de existir. [1,2 puntos]

b) Calcule la recta tangente a la curva en el punto $x=1$. [0,8 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{definici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{horizontales,}}\mathbf{\text{verticales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{oblicuas}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{existir.}}\mathbf{\text{[1,2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Es una función racional, así que su dominio son todos los reales salvo los que anulan el denominador.

$x^2-x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=2\\ x=-1\end{array}\Rightarrow \text{ Dom}f=\mathbb{R}-\{-1,2\}$

En ninguno de los dos puntos se anula el numerador $x^2(2x-1)$, de modo que los dos son asíntotas verticales:

${\displaystyle \underset{x\to -1^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{2x^3-x^2}{x^2-x-2}}={\displaystyle \frac{-3}{0^{+}}}=-\mathrm{\infty };\underset{x\to -1^{+}}{\lim }={\displaystyle \frac{-3}{0^{-}}}=+\mathrm{\infty }}$

${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{2x^3-x^2}{x^2-x-2}}={\displaystyle \frac{12}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 2^{+}}{\lim }={\displaystyle \frac{12}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }}$

El grado del numerador supera al del denominador, así que no hay asíntota horizontal:

${\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{2x^3-x^2}{x^2-x-2}}=\pm \mathrm{\infty }}$

Como la diferencia de grados es exactamente 1, sí hay asíntota oblicua $y=mx+n$, que se obtiene efectuando la división de los polinomios:

${\displaystyle \frac{2x^3-x^2}{x^2-x-2}}=2x+1+{\displaystyle \frac{5x+2}{x^2-x-2}}$

El resto tiende a cero cuando $x$ se va a infinito, de modo que la función se pega a la recta del cociente:

${\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{5x+2}{x^2-x-2}}=0\Rightarrow y=2x+1\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota oblicua}}$



La función está definida en $\mathbb{R}-\{-1,2\}$, tiene las asíntotas verticales $x=-1$ y $x=2$, la asíntota oblicua $y=2x+1$, y no tiene asíntota horizontal.



El punto $x=1$ pertenece al dominio, así que la tangente existe. Se calcula el punto de la curva y la derivada en él.

$f(1)={\displaystyle \frac{2-1}{1-1-2}}={\displaystyle \frac{1}{-2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

Derivamos sobre la expresión obtenida al dividir, que es más cómoda que el cociente original:

$f(x)=2x+1+{\displaystyle \frac{5x+2}{x^2-x-2}}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=2+{\displaystyle \frac{5(x^2-x-2)-(5x+2)(2x-1)}{{(x^2-x-2)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=2+{\displaystyle \frac{5\cdot (-2)-7\cdot 1}{(-2{)}^2}}=2+{\displaystyle \frac{-17}{4}}={\displaystyle \frac{8-17}{4}}=-{\displaystyle \frac{9}{4}}$

$y+{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{9}{4}}(x-1)\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{9}{4}}x+{\displaystyle \frac{9}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{9}{4}}x+{\displaystyle \frac{7}{4}}$

La recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x=1$ es $y=-\frac{9}{4}x+\frac{7}{4}$.