Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2023

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-x+2}{x}}$.

a) Determine el conjunto de puntos de discontinuidad de $f(x)$. [0,5 puntos]

b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [1 punto]

c) Determine si $f(x)$ tiene asíntota(s). En caso afirmativo, calcúlela(s). [1 punto]

La función es un cociente de polinomios, así que es continua en todos los puntos en los que está definida; los únicos candidatos a discontinuidad son los ceros del denominador.

$x=0\Rightarrow \text{Dom }f=\mathbb{R}\setminus \{0\}$

${\lim }_{x\to 0^{-}}{\displaystyle \frac{x^2-x+2}{x}}={\displaystyle \frac{2}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{x^2-x+2}{x}}={\displaystyle \frac{2}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

El conjunto de puntos de discontinuidad es $\{0\}$, y se trata de una discontinuidad de salto infinito.



Antes de derivar conviene separar la parte entera del cociente, porque simplifica todos los cálculos que siguen.

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-x+2}{x}}=x-1+{\displaystyle \frac{2}{x}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}={\displaystyle \frac{x^2-2}{x^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^2-2=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo, así que el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ lo pone el numerador. Añadimos $x=0$ a la recta de signos por estar fuera del dominio y estudiamos los cuatro tramos.

$f^{\mathrm{\prime }}(-3)={\displaystyle \frac{9-2}{9}}={\displaystyle \frac{7}{9}}>0,f^{\mathrm{\prime }}(-1)={\displaystyle \frac{1-2}{1}}=-1<0$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=-1<0,f^{\mathrm{\prime }}(3)={\displaystyle \frac{7}{9}}>0$



La función crece en $(-\mathrm{\infty },-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(-\sqrt{2},0)\cup (0,\sqrt{2})$. Hay por tanto un máximo relativo en $x=-\sqrt{2}$ y un mínimo relativo en $x=\sqrt{2}$:

$f(-\sqrt{2})=-2\sqrt{2}-1\approx -\mathrm{3,8284},f(\sqrt{2})=2\sqrt{2}-1\approx \mathrm{1,8284}$



Asíntotas verticales. Los límites laterales calculados en el apartado a) son infinitos, luego

$x=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

Asíntotas horizontales:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2-x+2}{x}}=\pm \mathrm{\infty }\Rightarrow \text{no hay as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$

Asíntotas oblicuas $y=mx+n$. Como el grado del numerador supera en una unidad al del denominador, es de esperar que exista.

$m={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2-x+2}{x^2}}=1$

$n={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}(f(x)-x)={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}(-1+{\displaystyle \frac{2}{x}})=-1$

Se llega a lo mismo leyendo directamente la descomposición del apartado b): como $\frac{2}{x}\to 0$, la gráfica se pega a la recta $y=x-1$.

Las asíntotas de $f$ son la vertical $x=0$ y la oblicua $y=x-1$.