Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2024

Considere la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3-10x^2+25x,& \text{si }x\le 5\\ \ln (x^2-25),& \text{si }x>5\end{array}$

a) Determine si $f(x)$ tiene asíntota(s). En caso afirmativo, calcúlela(s). [1,25 puntos]

b) Determine si $f(x)$ tiene punto(s) de inflexión. En caso afirmativo, calcúlelo(s). [1,25 puntos]

Estudiamos cada rama por su lado. La primera es un polinomio, que no tiene asíntotas de ninguna clase: está definido en todo $\mathbb{R}$ y tiende a infinito más deprisa que cualquier recta. Nos queda comprobar la rama logarítmica.

Asíntotas verticales. El logaritmo se va a $-\mathrm{\infty }$ cuando su argumento tiende a cero, y $x^2-25$ se anula justo en el extremo del tramo.

${\lim }_{x\to 5^{+}}\ln (x^2-25)=\ln (0^{+})=-\mathrm{\infty }\Rightarrow x=5\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

Asíntotas horizontales y oblicuas por la derecha:

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\ln (x^2-25)=+\mathrm{\infty }\Rightarrow \text{no hay as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}$

$m={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\ln (x^2-25)}{x}}=0$

porque $x$ es un infinito de orden superior al del logaritmo. Al ser $m=0$ tampoco hay asíntota oblicua.

La única asíntota de $f$ es la vertical $x=5$, a la que la función se acerca por la derecha.



Los puntos de inflexión son aquellos en los que la derivada segunda se anula y además cambia de signo, así que derivamos dos veces cada rama.

Para $x<5$:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-20x+25,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-20$

$6x-20=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{10}{3}}\approx \mathrm{3,33}$

El valor pertenece al tramo, y $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ es una recta de pendiente positiva, luego pasa de negativa a positiva: la curva pasa de cóncava a convexa y hay inflexión. Su ordenada es

$f\left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)={\displaystyle \frac{10}{3}}{({\displaystyle \frac{10}{3}}-5)}^2={\displaystyle \frac{10}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{25}{9}}={\displaystyle \frac{250}{27}}\approx \mathrm{9,26}$

Para $x>5$:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2-25}},f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2(x^2-25)-2x\cdot 2x}{(x^2-25{)}^2}}={\displaystyle \frac{-2x^2-50}{(x^2-25{)}^2}}$

El numerador es negativo para cualquier $x$ y el denominador es un cuadrado, así que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}<0$ en todo el tramo: la rama logarítmica es cóncava y no tiene inflexión.

En $x=5$ tampoco puede haberla, porque ahí la función ni siquiera es continua: $f(5)=0$ y el límite por la derecha es $-\mathrm{\infty }$.

El único punto de inflexión es $({\displaystyle \frac{10}{3}},{\displaystyle \frac{250}{27}})\approx (\mathrm{3,33};\mathrm{9,26})$.