Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · Aragón · 2026

Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{x-2}}$:

a) Calcula sus asíntotas. [0,8 puntos]

b) Estudia su monotonía. Justifica que $f(x)\ge 8$ si $x\in [3,5]$. [1,2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función es un cociente de polinomios, así que su dominio es todo $\mathbb{R}$ salvo las raíces del denominador, y esos son los únicos candidatos a asíntota vertical.

$x-2=0\Rightarrow x=2\Rightarrow \text{ Dom}f=\mathbb{R}-\{2\}$

${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{x-2}}={\displaystyle \frac{4}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty },{\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{x-2}}={\displaystyle \frac{4}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }}}$

$x=2\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

Como el grado del numerador supera en una unidad al del denominador, no hay asíntota horizontal y sí oblicua. La obtenemos efectuando la división:

${\displaystyle \frac{x^2}{x-2}}=x+2+{\displaystyle \frac{4}{x-2}}$

${\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }[f(x)-(x+2)]=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{4}{x-2}}=0}$

$y=x+2\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota oblicua}$

La función tiene una asíntota vertical, $x=2$, y una asíntota oblicua, $y=x+2$, la misma por los dos lados.



Derivamos con la regla del cociente y estudiamos el signo de la derivada.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x(x-2)-x^2}{(x-2{)}^2}}={\displaystyle \frac{2x^2-4x-x^2}{(x-2{)}^2}}={\displaystyle \frac{x^2-4x}{(x-2{)}^2}}={\displaystyle \frac{x(x-4)}{(x-2{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x(x-4)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=4\end{array}$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo, así que el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ es el del numerador. A los dos puntos críticos hay que añadir $x=2$, que no pertenece al dominio y también parte la recta real.



$f\text{ es creciente en }(-\mathrm{\infty },0)\cup (4,+\mathrm{\infty })\text{ y decreciente en }(0,2)\cup (2,4)$

Hay un máximo relativo en $x=0$, con $f(0)=0$, y un mínimo relativo en $x=4$, con

$f(4)={\displaystyle \frac{4^2}{4-2}}={\displaystyle \frac{16}{2}}=8$

Para justificar la cota en $[3,5]$ basta usar la monotonía recién obtenida: el intervalo está entero dentro del dominio y contiene al punto $x=4$, con la función decreciendo en $[3,4]$ y creciendo en $[4,5]$.

$\text{En }[3,4]:f\text{ decrece }\Rightarrow f(x)\ge f(4)=8$

$\text{En }[4,5]:f\text{ crece }\Rightarrow f(x)\ge f(4)=8$

El valor más pequeño que toma la función en $[3,5]$ es su mínimo absoluto en ese intervalo, $f(4)=8$; por eso $f(x)\ge 8$ para todo $x\in [3,5]$. Los extremos lo corroboran: $f(3)=9$ y $f(5)=\frac{25}{3}\approx \mathrm{8,33}$.