Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Demuestre que la matriz $M=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ verifica la ecuación $M^2+{\lambda }_{1}M+{\lambda }_{2}I=0$ y determine los escalares ${\lambda }_1$ y ${\lambda }_2$ de $\mathbb{R}$, donde $I$ y $0$ son las matrices $2\times 2$ identidad y cero. [2 puntos]

Calculamos $M^2$, sustituimos en la ecuación y obtenemos una igualdad entre matrices; identificando entrada a entrada quedan las condiciones que deben cumplir los dos escalares.

$M^2=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)$

$M^2+{\lambda }_{1}M+{\lambda }_{2}I=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2{\lambda }_1& {\lambda }_1\\ {\lambda }_1& 2{\lambda }_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_2& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)$

$=\left(\begin{array}{cc}5+2{\lambda }_1+{\lambda }_2& 4+{\lambda }_1\\ 4+{\lambda }_1& 5+2{\lambda }_1+{\lambda }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

De la entrada de fuera de la diagonal sale directamente el primer escalar:

$4+{\lambda }_1=0\Rightarrow {\lambda }_1=-4$

Y sustituyendo en la entrada de la diagonal:

$5+2(-4)+{\lambda }_2=0\Rightarrow -3+{\lambda }_2=0\Rightarrow {\lambda }_2=3$

Comprobamos que con esos valores se cumple la igualdad:

$\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)-4\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5-8+3& 4-4\\ 4-4& 5-8+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

La matriz verifica la ecuación con ${\lambda }_1=-4$ y ${\lambda }_2=3$. Obsérvese que ${\lambda }_1$ es la traza de $M$ cambiada de signo y ${\lambda }_2$ es su determinante, como asegura el teorema de Cayley-Hamilton.