Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Dada la matriz $\left(\begin{array}{ccc}1& -1& k\\ 2& -k& 1\\ 1& -1& -1\end{array}\right)$:

a) Estudie los valores de $k\in \mathbb{R}$ para los que la matriz tiene inversa. [1 punto]

b) Calcule la inversa para $k=1$. [1 punto]

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es nulo, así que lo calculamos y averiguamos cuándo se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& -1& k\\ 2& -k& 1\\ 1& -1& -1\end{array}\mid =k-1-2k+k^2+1-2=k^2-k-2$

$k^2-k-2=0\Rightarrow k={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}k=2\\ k=-1\end{array}$

La matriz tiene inversa para todo valor real de $k$ distinto de $2$ y de $-1$.



Para $k=1$ la matriz es:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& -1& 1\\ 1& -1& -1\end{array}\right)$

Por el apartado anterior $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1-1-2=-2\mathrm{\ne }0$, luego la inversa existe. La calculamos con la matriz adjunta.

$A^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -1& -1& -1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$

$\mathrm{Adj}\left(A^t\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& -2& 0\\ 3& -2& 1\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}\left(A^t\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{ccc}2& -2& 0\\ 3& -2& 1\\ -1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ -{\displaystyle \frac{3}{2}}& 1& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& 0& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado multiplicando por la matriz de partida:

$\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& -1& 1\\ 1& -1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ -{\displaystyle \frac{3}{2}}& 1& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& 0& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

La inversa pedida es la matriz anterior.