Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Dadas las matrices $M=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 2& 3& 0\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$ y $N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 2& 0& -2\\ 0& -1& 3\end{array}\right)$, calcule la matriz $X$ cuadrada de orden 3 que cumple $M\cdot X-N=2X$. [2 puntos]

La incógnita $X$ aparece en los dos miembros, así que la agrupamos en uno solo y sacamos factor común por la derecha, que es donde está multiplicada en los dos términos.

$M\cdot X-N=2X\Rightarrow M\cdot X-2X=N\Rightarrow (M-2I)X=N$

$M-2I=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 2& 3& 0\\ 1& 2& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 1& 2& 1\end{array}\right)$

Es una matriz triangular, de modo que su determinante es el producto de la diagonal:

$\mathrm{\mid }M-2I\mathrm{\mid }=1\cdot 1\cdot 1=1\mathrm{\ne }0$

Existe la inversa y la calculamos con la matriz adjunta:

$(M-2I{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1}}\mathrm{Adj}((M-2I{)}^t)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 3& -2& 1\end{array}\right)$

Despejamos $X$ multiplicando por la izquierda:

$X=(M-2I{)}^{-1}N=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 3& -2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 2& 0& -2\\ 0& -1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 2& -2& -2\\ -4& 2& 7\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$M\cdot X-N=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 0\\ 6& -4& -6\\ -8& 3& 17\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 2& 0& -2\\ 0& -1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 0\\ 4& -4& -4\\ -8& 4& 14\end{array}\right)=2X$

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 2& -2& -2\\ -4& 2& 7\end{array}\right)$.