Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Sea la matriz

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) Calcule $A^t$, $A^2$ y $A^{-1}$, donde $A^t$ es la matriz traspuesta y $A^{-1}$ la inversa. [3 puntos]

b) Sea $I$ la matriz identidad. Resuelva $X$ de la ecuación

$A^2-2AX+I=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -4\end{array}\right)\mathrm{.}$ [3 puntos]

c) Calcule todas las matrices $B$ para las cuales se tiene que $A\cdot B=B\cdot A^t$. [4 puntos]

La traspuesta se obtiene cambiando filas por columnas y el cuadrado, multiplicando la matriz por sí misma.

$A^t=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$

$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$

Para la inversa comprobamos primero que el determinante no se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1-2=-1\mathrm{\ne }0$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -1\end{array}\right)$



Aislamos el término que contiene la incógnita y despejamos multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda, que es el lado por el que $A$ multiplica a $X$.

$2AX=A^2+I-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -4\end{array}\right)$

$A^2+I=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& 4\end{array}\right)$

$2AX=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 4& 8\end{array}\right)$

$AX=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 4\end{array}\right)$

$X=A^{-1}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& -2\end{array}\right)$



Escribimos la matriz incógnita con sus cuatro elementos y desarrollamos los dos productos, que después igualamos posición por posición.

$B=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}p+r& q+s\\ 2p+r& 2q+s\end{array}\right)$

$B\cdot A^t=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}p+q& 2p+q\\ r+s& 2r+s\end{array}\right)$

Igualando las cuatro posiciones:

$\{\begin{array}{l}p+r=p+q\\ q+s=2p+q\\ 2p+r=r+s\\ 2q+s=2r+s\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}r=q\\ s=2p\end{array}$

Las cuatro ecuaciones se reducen a dos, porque la tercera y la cuarta repiten lo que dicen la segunda y la primera. Quedan, pues, dos parámetros libres.

$B=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ q& 2p\end{array}\right),p,q\in \mathbb{R}$

Todas las matrices de esa forma, y solo ellas, cumplen $A\cdot B=B\cdot A^t$.