Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Considere las matrices

$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& -5\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) Calcule sus determinantes: $\det (\mathbf{A})$, $\det (\mathbf{B})$. [2 puntos]

b) Calcule la matriz producto $\mathbf{B}\cdot \mathbf{A}$ y la matriz traspuesta $(\mathbf{B}\cdot \mathbf{A}{)}^t$. [3 puntos]

c) Para que se cumpla la relación $\mathbf{A}\cdot \mathbf{X}=\mathbf{B}\cdot \mathbf{A}$, ¿cuántas filas y columnas ha de tener la matriz $\mathbf{X}$? [2 puntos]

d) Calcule la matriz $\mathbf{X}$ que satisface la relación $\mathbf{A}\cdot \mathbf{X}=\mathbf{B}\cdot \mathbf{A}$. [3 puntos]

En una matriz de orden dos el determinante es la diferencia de los productos de las dos diagonales.

$\det (\mathbf{A})=\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\mid =0-2=-2$

$\det (\mathbf{B})=\mid \begin{array}{cc}3& 1\\ 2& -5\end{array}\mid =-15-2=-17$



Multiplicamos fila por columna y después cambiamos filas por columnas.

$\mathbf{B}\cdot \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& -5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ -3& 4\end{array}\right)$

$(\mathbf{B}\cdot \mathbf{A}{)}^t=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 6& 4\end{array}\right)$



Para que el producto $\mathbf{A}\cdot \mathbf{X}$ esté definido, $\mathbf{X}$ ha de tener tantas filas como columnas tiene $\mathbf{A}$, es decir, 2. Y para que el resultado sea igual a $\mathbf{B}\cdot \mathbf{A}$, que es de orden $2\times 2$, ha de tener 2 columnas.

La matriz $\mathbf{X}$ es de orden $2\times 2$: dos filas y dos columnas.



La incógnita está multiplicada por la izquierda, de modo que multiplicamos por ${\mathbf{A}}^{-1}$ también por la izquierda. Existe, porque $\det (\mathbf{A})=-2\mathrm{\ne }0$.

${\mathbf{A}}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-2}}\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$

$\mathbf{X}={\mathbf{A}}^{-1}(\mathbf{B}\cdot \mathbf{A})=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ -3& 4\end{array}\right)$

$\mathbf{X}=\left(\begin{array}{cc}-3& 4\\ \frac{7}{2}& 1\end{array}\right)$

Esa es la matriz buscada, como se comprueba multiplicando $\mathbf{A}\cdot \mathbf{X}$ y recuperando $\mathbf{B}\cdot \mathbf{A}$.