Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Dada la matriz

$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}^2& a& a\\ a& a^2& 1\\ a& 1& a^2\end{array}\right),$

a) Estudie el rango de la matriz $A$ según los valores de $a$. [6 puntos]

b) Determine para qué valores de $a$ la matriz $A$ es invertible. [1 punto]

c) Para el valor de $a=-1$, calcule la solución, $X$, de la ecuación matricial

$A\cdot X=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\mathrm{.}$ [3 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[6}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Mientras el determinante no se anule el rango es 3, así que empezamos por él. Desarrollamos por la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=a^2(a^4-1)-a(a^3-a)+a(a-a^3)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=a^6-a^2-a^4+a^2+a^2-a^4=a^6-2a^4+a^2$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=a^2(a^4-2a^2+1)=a^2{(a^2-1)}^2$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=0,a=1,a=-1$

Si $a\mathrm{\ne }0$, $a\mathrm{\ne }1$ y $a\mathrm{\ne }-1$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{rg}(A)=3$.

Si $a=0$:

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

Si $a=1$:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$

Las tres filas son iguales, luego solo hay una linealmente independiente y $\mathrm{rg}(A)=1$.

Si $a=-1$:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ -1& 1& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$

La segunda y la tercera fila son iguales y la primera es su opuesta, de modo que $\mathrm{rg}(A)=1$.

En resumen: el rango vale 3 para todo $a$ distinto de $0$, $1$ y $-1$; vale 2 para $a=0$; y vale 1 para $a=1$ y $a=-1$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{invertible.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no se anula, o equivalentemente si su rango es máximo.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=a^2(a^2-1{)}^2\mathrm{\ne }0\iff a\mathrm{\ne }0,a\mathrm{\ne }1,a\mathrm{\ne }-1$

La matriz $A$ es invertible para todo valor real de $a$ distinto de $0$, $1$ y $-1$.



Se trata de un sistema homogéneo, que siempre es compatible porque admite al menos la solución nula. Como para $a=-1$ el rango es 1, habrá infinitas soluciones con dos grados de libertad.

$\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ -1& 1& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

Las tres ecuaciones se reducen a una sola, ya que la segunda y la tercera son la primera cambiada de signo:

$x-y-z=0\Rightarrow x=y+z$

Tomamos $y=\lambda$ y $z=\mu$ como parámetros:

$X=\left(\begin{array}{c}\lambda +\mu \\ \lambda \\ \mu \end{array}\right),\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$

La ecuación tiene infinitas soluciones, todas las de esa forma; entre ellas, la trivial $X=(0,0,0{)}^{\mathrm{\top }}$ para $\lambda =\mu =0$.