Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Considere las matrices

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ \lambda & 2& -1\\ 2& \lambda & -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 3\lambda & 6\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) Calcule el determinante de la matriz $A$. [1 punto]

b) En función del parámetro $\lambda$, calcule el rango de la matriz $A$. [3 puntos]

c) Para el valor de $\lambda =1$, calcule la matriz inversa de $A$, $A^{-1}$. [3 puntos]

d) Para el valor de $\lambda =1$, resuelva la ecuación matricial $XA=B$. [3 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{determinante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Desarrollamos por la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ \lambda & 2& -1\\ 2& \lambda & -1\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1(-2+\lambda )-1(-\lambda +2)-1({\lambda }^2-4)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-2+\lambda +\lambda -2-{\lambda }^2+4=-{\lambda }^2+2\lambda$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-\lambda (\lambda -2)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Mientras el determinante no se anule el rango es máximo, así que empezamos por sus raíces.

$-\lambda (\lambda -2)=0\Rightarrow \lambda =0\text{ o }\lambda =2$

Si $\lambda \mathrm{\ne }0$ y $\lambda \mathrm{\ne }2$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{rg}(A)=3$.

Si $\lambda =0$:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 2& -1\\ 2& 0& -1\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

Si $\lambda =2$:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 2& 2& -1\\ 2& 2& -1\end{array}\right)$

La segunda y la tercera fila son iguales, luego el rango no llega a 3. Con el menor de las dos primeras filas y las columnas primera y tercera:

$\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 2& -1\end{array}\mid =-1+2=1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

El rango de $A$ es 3 para todo $\lambda$ distinto de 0 y de 2, y vale 2 para esos dos valores.



$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& 2& -1\\ 2& 1& -1\end{array}\right),\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-1(1-2)=1\mathrm{\ne }0$

Existe la inversa. Aplicamos la fórmula con la adjunta de la traspuesta.

$A^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 2& 1\\ -1& -1& -1\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{\mathrm{Adj}(A^{\mathrm{\top }})}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& 1& 0\\ -3& 1& 1\end{array}\right)$

Comprobamos multiplicando:

$A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& 2& -1\\ 2& 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& 1& 0\\ -3& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$



La incógnita multiplica por la izquierda, de modo que hay que multiplicar por $A^{-1}$ por la derecha para despejarla.

$XA{A}^{-1}=B{A}^{-1}\Rightarrow X=B{A}^{-1}$

Para $\lambda =1$ el enunciado da $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 6\end{array}\right)$, que es una matriz fila, así que $X$ también lo será.

$X=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -1& 1& 0\\ -3& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-22& 9& 7\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{ccc}-22& 9& 7\end{array}\right)$, como se comprueba multiplicando $XA$ y recuperando $B$.