Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Considere la matriz $M$ y el vector $\mathbf{b}$,

$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& a\\ a+1& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\text{y}\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right),$

respectivamente.

a) Indique para qué valores de $a$ la matriz $M$ es invertible. [3 puntos]

b) Calcule, para todos los valores de $a$ que sea posible, la inversa de $M$. [3 puntos]

c) Calcule, para el caso $a=0$, el vector $\mathbf{x}$ tal que $M\mathbf{x}=\mathbf{b}$. [4 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{M}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{invertible.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero, así que empezamos calculándolo. Desarrollamos por la segunda fila, que tiene un cero.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}2& 1& a\\ a+1& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=2(0\cdot 1-1\cdot 1)-1[(a+1)\cdot 1-1\cdot 1]+a[(a+1)\cdot 1-0\cdot 1]$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=-2-a+a^2+a=a^2-2$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a^2=2\Rightarrow a=\pm \sqrt{2}$

La matriz $M$ es invertible para todo valor real de $a$ distinto de $\sqrt{2}$ y de $-\sqrt{2}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{posible,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{M}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Usamos la fórmula de la inversa a partir de la matriz adjunta de la traspuesta, válida siempre que $a\mathrm{\ne }\pm \sqrt{2}$.

$M^{\mathrm{\top }}=\left(\begin{array}{ccc}2& a+1& 1\\ 1& 0& 1\\ a& 1& 1\end{array}\right)$

Calculamos los nueve adjuntos de $M^{\mathrm{\top }}$, alternando el signo según la posición:

$\mathrm{Adj}(M^{\mathrm{\top }})=\left(\begin{array}{ccc}-1& a-1& 1\\ -a& 2-a& a^2+a-2\\ a+1& -1& -a-1\end{array}\right)$

$M^{-1}={\displaystyle \frac{\mathrm{Adj}(M^{\mathrm{\top }})}{\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{1}{a^2-2}}\left(\begin{array}{ccc}-1& a-1& 1\\ -a& 2-a& a^2+a-2\\ a+1& -1& -a-1\end{array}\right)$

Esa es la inversa de $M$ para cualquier $a\mathrm{\ne }\pm \sqrt{2}$; para esos dos valores la matriz no tiene inversa.



Para $a=0$ se tiene $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=-2\mathrm{\ne }0$, de modo que el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos directamente por sustitución, que es más corto que invertir la matriz.

$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}2x+y=0\\ x+z=1\\ x+y+z=1\end{array}$

De la primera ecuación, $y=-2x$. Sustituyendo en la tercera:

$x-2x+z=1\Rightarrow -x+z=1$

Y restando esta de la segunda ecuación:

$(x+z)-(-x+z)=1-1\Rightarrow 2x=0\Rightarrow x=0$

$y=-2\cdot 0=0,z=1-0=1$

El vector buscado es $\mathbf{x}=(0,0,1{)}^{\mathrm{\top }}$, como se comprueba sin más que multiplicar $M\mathbf{x}$ y recuperar $\mathbf{b}$.