Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Considere las matrices

$A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 0& 3\end{array}\right)\text{y}B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right),$

y sea $O$ la matriz nula de orden $2\times 2$.

a) Calcule todas las matrices $X$ tales que $AX-X=B$. [4 puntos]

b) Encuentre una matriz $Y$ diferente de $O$ tal que $(A-B)Y=O$. [3 puntos]

c) Indique todas las matrices $Z$ que cumplen la igualdad $AZ=O$. [3 puntos]

Sacamos $X$ como factor común por la derecha, que es el lado por el que aparece en los dos términos.

$AX-X=B\Rightarrow AX-IX=B\Rightarrow (A-I)X=B$

$A-I=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 0& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 2\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A-I\mathrm{\mid }=4\mathrm{\ne }0$

Como el determinante no se anula, $A-I$ es invertible y la ecuación tiene solución única.

$(A-I{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$

$X=(A-I{)}^{-1}B={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 2& 2\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{4}& \frac{3}{4}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

Hay una única matriz que cumple la igualdad, precisamente porque $A-I$ es invertible.



Ahora la matriz que multiplica no es invertible, y eso es justamente lo que permite que existan soluciones distintas de la nula.

$A-B=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 0& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& 2\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A-B\mathrm{\mid }=2-2=0$

Escribimos $Y=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ e imponemos la condición:

$\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}p-2r& q-2s\\ -p+2r& -q+2s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

Las cuatro ecuaciones se reducen a dos:

$p=2r,q=2s$

Tomando, por ejemplo, $r=s=1$:

$Y=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$

Se comprueba que $(A-B)Y=O$, y $Y$ no es la matriz nula.



Aquí ocurre lo contrario que en el apartado anterior: hay que mirar si $A$ es invertible.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}3& -1\\ 0& 3\end{array}\mid =9\mathrm{\ne }0$

Existe $A^{-1}$, y multiplicando por ella por la izquierda:

$A^{-1}AZ=A^{-1}O\Rightarrow Z=O$

La única matriz que cumple $AZ=O$ es la matriz nula: al ser $A$ regular, no hay divisores de cero por ese lado.