Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Sea $I_3$ la matriz identidad de orden $3\times 3$ y $A$ la matriz

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 0& 0\\ -2& 1& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) Calcule la matriz $B=3A-k{I}_3$, indicando su expresión en función del parámetro real $k$. [4 puntos]

b) Discuta el rango de la matriz $B$ según el parámetro $k$. [4 puntos]

c) ¿Para qué valores de $k$ se puede calcular la inversa de $B$? Justifique la respuesta. [2 puntos]

Multiplicar por 3 afecta a todos los elementos, mientras que restar $k{I}_3$ solo afecta a la diagonal principal.

$3A=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 6& 0& 0\\ -6& 3& 3\end{array}\right),k{I}_3=\left(\begin{array}{ccc}k& 0& 0\\ 0& k& 0\\ 0& 0& k\end{array}\right)$

$B=3A-k{I}_3=\left(\begin{array}{ccc}3-k& 0& 0\\ 6& -k& 0\\ -6& 3& 3-k\end{array}\right)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{B}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{k}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Empezamos por el determinante: mientras no se anule, el rango es 3. La matriz es triangular inferior, de modo que el determinante es el producto de la diagonal.

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=(3-k)\cdot (-k)\cdot (3-k)=-k(3-k{)}^2$

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=0\Rightarrow k=0\text{ o }k=3$

Si $k\mathrm{\ne }0$ y $k\mathrm{\ne }3$, $\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{rg}(B)=3$.

Si $k=0$:

$B=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 6& 0& 0\\ -6& 3& 3\end{array}\right)$

La segunda fila es el doble de la primera, así que no aporta rango. Con la primera y la tercera:

$\mid \begin{array}{cc}3& 0\\ -6& 3\end{array}\mid =9\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(B)=2$

Si $k=3$:

$B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 6& -3& 0\\ -6& 3& 0\end{array}\right)$

La primera fila es nula y la tercera es la opuesta de la segunda, de modo que solo queda una fila linealmente independiente:

$\mathrm{rg}(B)=1$

En resumen: el rango de $B$ es 3 si $k\mathrm{\ne }0$ y $k\mathrm{\ne }3$, es 2 si $k=0$ y es 1 si $k=3$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{k}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{B}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, o lo que es lo mismo, si su rango es máximo.

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=-k(3-k{)}^2\mathrm{\ne }0\iff k\mathrm{\ne }0\text{ y }k\mathrm{\ne }3$

Se puede calcular la inversa de $B$ para todo valor real de $k$ distinto de 0 y de 3, que son precisamente los casos en que el rango baja de 3 y la matriz deja de ser regular.