Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Consideremos las matrices $A$ de dimensión $3\times 3$ que satisfacen que $3A+I=A^2$, donde $I$ es la matriz identidad de dimensión $3\times 3$.

a) Calcule la expresión de la matriz inversa de $A$. [3 puntos]

b) Dada la ecuación matricial

$A+3AX=5I,$

donde $A$ es una de las matrices del enunciado, calcule, en función solo de la matriz $A$ (no de su inversa) y de la identidad $I$, la matriz $X$. ¿Qué dimensión tiene la matriz $X$? Justifique la respuesta. [3 puntos]

c) Calcule todas las matrices de la forma

$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 0\\ 1& b& 0\\ 0& 0& c\end{array}\right)$

que satisfacen las condiciones del enunciado. [4 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se trata de escribir la igualdad de forma que aparezca el producto de $A$ por otra matriz dando la identidad, porque esa otra matriz es entonces la inversa.

$3A+I=A^2$

$I=A^2-3A$

$I=A(A-3I)$

De paso, esto demuestra que $A$ es invertible, ya que hemos encontrado una matriz que multiplicada por ella da la identidad.

$A^{-1}=A-3I$



Aislamos el término que contiene la incógnita y multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$, que es el lado por el que $A$ multiplica a $X$.

$3AX=5I-A$

$X={\displaystyle \frac{1}{3}}{A}^{-1}(5I-A)$

Sustituimos la inversa por su expresión del apartado anterior:

$X={\displaystyle \frac{1}{3}}(A-3I)(5I-A)={\displaystyle \frac{1}{3}}(5A-A^2-15I+3A)={\displaystyle \frac{1}{3}}(8A-A^2-15I)$

Todavía queda un $A^2$, que el enunciado permite eliminar:

$A^2=3A+I$

$X={\displaystyle \frac{1}{3}}(8A-3A-I-15I)={\displaystyle \frac{1}{3}}(5A-16I)$

$X={\displaystyle \frac{5A-16I}{3}}$

La matriz $X$ es $3\times 3$: para que el producto $AX$ esté definido, $X$ debe tener tantas filas como columnas tiene $A$, es decir, 3; y para que la suma con $5I$ tenga sentido, el resultado ha de ser $3\times 3$, luego $X$ tiene también 3 columnas.



Imponemos la condición $A^2=3A+I$ e igualamos elemento a elemento. Calculamos primero el cuadrado:

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 0\\ 1& b& 0\\ 0& 0& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 0\\ 1& b& 0\\ 0& 0& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}^2+1& a+b& 0\\ a+b& 1+b^2& 0\\ 0& 0& c^2\end{array}\right)$

$3A+I=\left(\begin{array}{ccc}3a+1& 3& 0\\ 3& 3b+1& 0\\ 0& 0& 3c+1\end{array}\right)$

Igualando las posiciones que no son idénticamente nulas se obtienen cuatro ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}{a}^2+1=3a+1\\ a+b=3\\ 1+b^2=3b+1\\ c^2=3c+1\end{array}$

De la primera y la tercera:

$a^2=3a\Rightarrow a(a-3)=0\Rightarrow a=0\text{ o }a=3$

$b^2=3b\Rightarrow b(b-3)=0\Rightarrow b=0\text{ o }b=3$

La segunda ecuación, $a+b=3$, obliga a emparejarlos, de modo que solo sirven $(a,b)=(0,3)$ y $(a,b)=(3,0)$.

La cuarta es independiente de las anteriores:

$c^2-3c-1=0\Rightarrow c={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{9+4}}{2}}={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{13}}{2}}$

Combinando las dos posibilidades de $(a,b)$ con las dos de $c$ resultan cuatro matrices:

$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 3& 0\\ 0& 0& \frac{3\pm \sqrt{13}}{2}\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& \frac{3\pm \sqrt{13}}{2}\end{array}\right)$

Hay, pues, cuatro matrices de esa forma que cumplen las condiciones del enunciado.