Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Pregunta 1.2. Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ -1& -3\end{array}\right)$, se pide:

a) (1.5 puntos) Hallar las matrices simétricas $B$ que verifiquen $BA=(A+A^2)B$.

b) (1 punto) Con la matriz $A_1=A$, se consideran las matrices $A_2=A_1^2+A_1$, $A_3=A_2^2+A_2$, $A_4=A_3^2+A_3$ y así sucesivamente. Hallar $A_{2025}$.

Una matriz simétrica de orden dos tiene la forma que se indica, con tres parámetros. Calculamos primero la matriz que aparece a la derecha de la igualdad.

$B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$

$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ -1& -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ -1& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-4& -10\\ 2& 4\end{array}\right)\Rightarrow A+A^2=\left(\begin{array}{cc}-3& -5\\ 1& 1\end{array}\right)$

Imponemos la igualdad y multiplicamos los dos miembros.

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ -1& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& -5\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$

Igualando elemento a elemento se obtiene un sistema homogéneo de cuatro ecuaciones.

$\{\begin{array}{l}a-b=-3a-5b\\ 5a-3b=-3b-5c\\ b-c=a+b\\ 5b-3c=b+c\end{array}$

La tercera ecuación da $c=-a$ y la cuarta $b=-a$; las otras dos no añaden condiciones nuevas.

$a=\lambda \Rightarrow b=c=-\lambda$

$B=\left(\begin{array}{cc}\lambda & -\lambda \\ -\lambda & -\lambda \end{array}\right),\lambda \in \mathbb{R}$

Hay, por tanto, infinitas matrices simétricas que cumplen la condición, todas múltiplos de la misma.



No hay que calcular dos mil términos: calculamos los primeros y buscamos un patrón que se repita. El segundo ya lo tenemos del apartado anterior.

$A_2=A_1^2+A_1=\left(\begin{array}{cc}-3& -5\\ 1& 1\end{array}\right)$

$A_2^2=\left(\begin{array}{cc}4& 10\\ -2& -4\end{array}\right)\Rightarrow A_3=A_2^2+A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ -1& -3\end{array}\right)=A_1$

Al reaparecer $A_1$, la sucesión es periódica de periodo 2: los índices impares dan $A_1$ y los pares, $A_2$. Como 2025 es impar:

$A_{2025}=A_1=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ -1& -3\end{array}\right)$