Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2020

Una empresa está trabajando en el diseño de unas cápsulas de café. La empresa ha construido la sección transversal de las cápsulas inscribiéndola en una semicircunferencia de radio 1, trazando a continuación una cuerda $CD$ paralela al diámetro $AB$ e incorporando el punto $E$ en el punto medio del arco $CD$. De esta manera queda trazado el pentágono $ACEDB$, tal como se muestra en la figura.



a) Exprese en función de $x$ y $h$ el área del pentágono $ACEDB$. [1,25 puntos]
b) ¿Cuál ha de ser la distancia (indicada en la figura por $h$) a la que se ha de situar la cuerda $CD$ de $AB$ para que el área del pentágono $ACEDB$ sea máxima? [1,25 puntos]

El pentágono se descompone en dos piezas cuyas áreas sabemos calcular: el trapecio $ABDC$, de bases $AB$ y $CD$, y el triángulo $CED$, que se apoya sobre la cuerda.

Como la semicircunferencia tiene radio 1, el diámetro mide $AB=2$, y de la figura se lee que la cuerda mide $CD=2x$.





El trapecio tiene altura $h$, que es la distancia de la cuerda al diámetro.

$S_{\text{trapecio}}={\displaystyle \frac{(AB+CD)h}{2}}={\displaystyle \frac{(2+2x)h}{2}}=(1+x)h$

El triángulo $CED$ tiene por base la cuerda y por altura lo que le falta a $h$ para llegar al punto más alto de la semicircunferencia, que está a altura 1 porque $E$ es el punto medio del arco.

$S_{\text{tri}\acute{\text{a}}\text{ngulo}}={\displaystyle \frac{CD\cdot (1-h)}{2}}={\displaystyle \frac{2x(1-h)}{2}}=x(1-h)$

Sumamos las dos y simplificamos.

$S=(1+x)h+x(1-h)=h+xh+x-xh$

$S=x+h$

El área del pentágono es, sencillamente, $S=x+h$: los términos en $xh$ se cancelan.



Las dos variables no son independientes: el punto $D$ está sobre la semicircunferencia de radio 1, de modo que sus coordenadas respecto del centro, $x$ y $h$, cumplen el teorema de Pitágoras.

$x^2+h^2=1\Rightarrow x=\sqrt{1-h^2}$

$S(h)=\sqrt{1-h^2}+h,0<h<1$

Derivamos e igualamos a cero.

$S^{\mathrm{\prime }}(h)={\displaystyle \frac{-2h}{2\sqrt{1-h^2}}}+1=1-{\displaystyle \frac{h}{\sqrt{1-h^2}}}$

$S^{\mathrm{\prime }}(h)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{h}{\sqrt{1-h^2}}}=1\Rightarrow h=\sqrt{1-h^2}$

$h^2=1-h^2\Rightarrow 2h^2=1\Rightarrow h^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow h={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Se toma la raíz positiva porque $h$ es una distancia. Para ver que es un máximo estudiamos el signo de $S^{\mathrm{\prime }}(h)$, que es el de $1-\frac{h}{\sqrt{1-h^2}}$: el cociente crece con $h$ y vale 1 exactamente en $h=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$0<h<{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\Rightarrow S^{\mathrm{\prime }}(h)>0\Rightarrow S\text{ es creciente}$

${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}<h<1\Rightarrow S^{\mathrm{\prime }}(h)<0\Rightarrow S\text{ es decreciente}$

La función pasa de creciente a decreciente, luego ahí está el máximo.

$x=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},S={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}\approx \mathrm{1,41}$

El área del pentágono es máxima cuando la cuerda se sitúa a una distancia $h={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\approx \mathrm{0,71}$ del diámetro, y ese área máxima vale $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,41}$ unidades cuadradas.