Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2024

Queremos hacer una valla en un campo rectangular empleando diferentes materiales en cada lado. Empezando por el fondo del campo y moviéndonos alrededor de este en el sentido contrario a las agujas del reloj, el coste del material para cada lado es de 6 €/m, 9 €/m, 12 €/m y 14 €/m, respectivamente. Si hemos de gastar exactamente 1000 € para comprar el material de cierre, determine las dimensiones del campo que maximizarán el área cercada. [10 puntos]

$\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{hemos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{gastar}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{1000}}\mathbf{\text{€}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{comprar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cierre,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dimensiones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{maximizar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{cercada.}}\mathbf{\text{[10}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ a la longitud del lado del fondo y $y$ a la del lado contiguo, ambas en metros. Recorriendo el campo en sentido contrario a las agujas del reloj, los lados de longitud $x$ son el fondo (6 €/m) y el frente (12 €/m), y los de longitud $y$ son los dos laterales (9 €/m y 14 €/m).



El coste total es la suma de lo que cuesta cada lado, y el enunciado obliga a que valga exactamente 1000 €. Esa es la ligadura que relaciona las dos variables.

$6x+9y+12x+14y=1000$

$18x+23y=1000$

La función que hay que maximizar es el área del rectángulo. La expresamos en una sola variable despejando $y$ de la ligadura.

$y={\displaystyle \frac{1000-18x}{23}}$

$S(x)=xy={\displaystyle \frac{1000x-18x^2}{23}}$

El dominio son los valores de $x$ que dejan positivos los dos lados, es decir, $0<x<\frac{1000}{18}$. Buscamos los puntos críticos.

$S^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1000-36x}{23}}$

$S^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 1000-36x=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1000}{36}}={\displaystyle \frac{250}{9}}\approx \mathrm{27,78}$

Comprobamos que se trata de un máximo con la segunda derivada:

$S^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-36}{23}}<0$

La segunda derivada es negativa en todo el dominio, luego el único extremo es un máximo relativo y, por ser el único, también absoluto. Calculamos la otra dimensión:

$y={\displaystyle \frac{1000-18\cdot \frac{250}{9}}{23}}={\displaystyle \frac{1000-500}{23}}={\displaystyle \frac{500}{23}}\approx \mathrm{21,74}$

$S={\displaystyle \frac{250}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{500}{23}}={\displaystyle \frac{125000}{207}}\approx \mathrm{603,86}$

El área cercada es máxima cuando el campo mide $\frac{250}{9}\approx \mathrm{27,78}$ metros en la dirección del fondo y $\frac{500}{23}\approx \mathrm{21,74}$ metros en la otra, y entonces encierra $\mathrm{603,86}{\text{m}}^2$ aproximadamente.