Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Ejercicio B1
Sean
$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 1\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$
Calcular la matriz $X$ de orden $2\times 2$ que verifica
$A^2\cdot X+B=C\mathrm{.}$

Despejamos $X$ en la ecuación matricial. Como el producto de matrices no es conmutativo, hay que multiplicar por la inversa siempre por el mismo lado, en este caso por la izquierda.

$A^{2}X+B=C\Rightarrow A^{2}X=C-B$

${\left(A^2\right)}^{-1}{A}^{2}X={\left(A^2\right)}^{-1}(C-B)\Rightarrow X={\left(A^2\right)}^{-1}(C-B)$

Calculamos primero $A^2$:

$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -4& 1\end{array}\right)$

Su determinante vale $1$, luego la inversa existe y es sencilla de obtener:

$\mid A^2\mid =1\mathrm{\ne }0\Rightarrow {\left(A^2\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right)$

Comprobamos: $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -4& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Calculamos ahora la diferencia del segundo miembro:

$C-B=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right)$

Y multiplicamos:

$X=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 8\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado sustituyendo en la ecuación de partida:

$A^{2}X=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -4& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right)$

$A^{2}X+B=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 1\end{array}\right)=C$

La matriz pedida es $X=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 8\end{array}\right)$.