Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Ejercicio B1
Calcula de manera razonada, aplicando las propiedades adecuadas, el valor del determinante
$\mid \begin{array}{ccc}a& b& c\\ p& q& r\\ x& y& z\end{array}\mid ,$
sabiendo que
$\mid \begin{array}{ccc}p+a& q+b& r+c\\ 2x& 2y& 2z\\ p+x& q+y& r+z\end{array}\mid =6.$

$\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{manera}}\mathbf{\text{razonada}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{determinante,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{determinante}}\mathbf{\text{dado}}\mathbf{\text{vale}}\mathbf{\text{6.}}$

Llamamos $D$ al determinante que se pide y $F_a=(a,b,c)$, $F_p=(p,q,r)$, $F_x=(x,y,z)$ a sus tres filas, de modo que $D=\mathrm{\mid }{F}_a,F_p,F_x\mathrm{\mid }$. Se trata de llevar el determinante conocido a la forma de $D$ aplicando propiedades, sin desarrollar ninguno.

Partimos del que vale $6$:

$\mid \begin{array}{ccc}p+a& q+b& r+c\\ 2x& 2y& 2z\\ p+x& q+y& r+z\end{array}\mid =6$

Si se multiplican todos los elementos de una fila por una constante, el determinante queda multiplicado por ella. Sacamos el $2$ de la segunda fila:

$2\mid \begin{array}{ccc}p+a& q+b& r+c\\ x& y& z\\ p+x& q+y& r+z\end{array}\mid =6\Rightarrow \mid \begin{array}{ccc}p+a& q+b& r+c\\ x& y& z\\ p+x& q+y& r+z\end{array}\mid =3$

Si a una fila se le suma un múltiplo de otra, el determinante no cambia. Restamos la segunda fila de la tercera, con lo que esta se simplifica:

$\mid \begin{array}{ccc}p+a& q+b& r+c\\ x& y& z\\ p& q& r\end{array}\mid =3$

Restamos ahora la tercera fila de la primera:

$\mid \begin{array}{ccc}a& b& c\\ x& y& z\\ p& q& r\end{array}\mid =3$

Solo queda ordenar las filas. Si se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo; intercambiando la segunda y la tercera:

$\mid \begin{array}{ccc}a& b& c\\ p& q& r\\ x& y& z\end{array}\mid =-3$

El determinante pedido vale $D=-3$.