Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Ejercicio B1
Sea la matriz
$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& \alpha \\ 1& \alpha & 1\\ 0& \alpha & -1\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) Determinar para qué valores del parámetro $\alpha$ la matriz $A$ no tiene inversa.
b) Calcular, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $\alpha =2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa.}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que basta ver cuándo se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}2& 3& \alpha \\ 1& \alpha & 1\\ 0& \alpha & -1\end{array}\mid$

Desarrollamos por la primera columna, que tiene un cero:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2\mid \begin{array}{cc}\alpha & 1\\ \alpha & -1\end{array}\mid -1\mid \begin{array}{cc}3& \alpha \\ \alpha & -1\end{array}\mid$

$=2(-\alpha -\alpha )-(-3-{\alpha }^2)=-4\alpha +3+{\alpha }^2$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }={\alpha }^2-4\alpha +3=(\alpha -1)(\alpha -3)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\alpha =1\\ \alpha =3\end{array}$

La matriz $A$ no tiene inversa para $\alpha =1$ y para $\alpha =3$; para cualquier otro valor sí la tiene.



Es posible, porque $\alpha =2$ no es ninguno de los dos valores excluidos. La matriz y su determinante son:

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 2\\ 1& 2& 1\\ 0& 2& -1\end{array}\right),\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(2-1)(2-3)=-1\mathrm{\ne }0$

Calculamos la inversa por el método de la matriz adjunta:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\text{Adj}(A{)}^t$

Los adjuntos de $A$ son:

$\text{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}-4& 1& 2\\ 7& -2& -4\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$

Trasponiendo y dividiendo entre el determinante, que vale $-1$:

$A^{-1}=-1\cdot \left(\begin{array}{ccc}-4& 7& -1\\ 1& -2& 0\\ 2& -4& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4& -7& 1\\ -1& 2& 0\\ -2& 4& -1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado:

$A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 2\\ 1& 2& 1\\ 0& 2& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}4& -7& 1\\ -1& 2& 0\\ -2& 4& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$