Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Ejercicio B1
Dada la matriz $M=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$, calcular razonadamente $M^{2020}$.

Elevar una matriz a un exponente tan grande multiplicando 2020 veces es inviable. El procedimiento consiste en calcular las primeras potencias, detectar la regla que siguen y generalizarla.

$M^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$

$M^3=M^2\cdot M=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$

$M^4=M^3\cdot M=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right)$

Se observa que la matriz solo cambia en el elemento de la esquina inferior izquierda, que coincide con el exponente. Conjeturamos, pues:

$M^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ n& 1\end{array}\right)$

La fórmula se comprueba por inducción: suponiéndola cierta para $n$, al multiplicar por $M$ se obtiene la del exponente siguiente.

$M^n\cdot M=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ n& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ n+1& 1\end{array}\right)$

Particularizando para el exponente pedido:

$M^{2020}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2020& 1\end{array}\right)$