Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Ejercicio B1
Sea $M(\alpha )$ la matriz dada por $M(\alpha )=\left(\begin{array}{ccc}1& \alpha & 1\\ \alpha & 1& \alpha \\ 0& \alpha & 1\end{array}\right)$.

a) Determinar para qué valores de $\alpha$ la matriz no tiene inversa.
b) Calcular, si es posible, la matriz inversa para $\alpha =0$, y en caso de que no sea posible razonar por qué no es posible.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa.}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que basta ver cuándo se anula.

$\mathrm{\mid }M(\alpha )\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& \alpha & 1\\ \alpha & 1& \alpha \\ 0& \alpha & 1\end{array}\mid$

Desarrollamos por la primera columna, que tiene un cero:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=1\mid \begin{array}{cc}1& \alpha \\ \alpha & 1\end{array}\mid -\alpha \mid \begin{array}{cc}\alpha & 1\\ \alpha & 1\end{array}\mid$

$=(1-{\alpha }^2)-\alpha (\alpha -\alpha )=1-{\alpha }^2$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow (1-\alpha )(1+\alpha )=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\alpha =1\\ \alpha =-1\end{array}$

La matriz no tiene inversa para $\alpha =1$ y para $\alpha =-1$; para cualquier otro valor sí la tiene.



Es posible, porque $\alpha =0$ no es ninguno de los dos valores excluidos. La matriz y su determinante son:

$M(0)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\mathrm{\mid }M(0)\mathrm{\mid }=1-0=1\mathrm{\ne }0$

Al ser triangular superior con unos en la diagonal, la inversa se obtiene sin más que cambiar el signo del único elemento no nulo fuera de la diagonal. Formalmente, por el método de la matriz adjunta:

$M(0{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }}}\text{Adj}{(M(0))}^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado:

$M(0)M(0{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$