Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Galicia · 2024

PREGUNTA 1. Números y Álgebra. (2 puntos)
Si $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ x& y\end{array}\right)$, dé respuesta a los dos apartados siguientes:

a) Calcule los valores de $x$ e $y$ que hacen que $A$ conmute con todas las matrices antisimétricas $X$ de orden 2, es decir, que hacen que se cumpla la igualdad $AX=XA$ para toda matriz antisimétrica $X$ de orden 2.
b) Si $x=-1$ e $y=1$, calcule la matriz $M$ que satisface la igualdad $2M=A^{-1}-AM$.

Una matriz es antisimétrica cuando $X^T=-X$; en orden 2 eso obliga a que la diagonal sea nula y a que los otros dos elementos sean opuestos, de modo que toda antisimétrica de orden 2 tiene la forma

$X=\left(\begin{array}{cc}0& p\\ -p& 0\end{array}\right)p\in \mathbb{R}$

Calculamos los dos productos y los igualamos.

$AX=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& p\\ -p& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-p& p\\ -yp& xp\end{array}\right)$

$XA=\left(\begin{array}{cc}0& p\\ -p& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}px& py\\ -p& -p\end{array}\right)$

$AX=XA\Rightarrow \left(\begin{array}{cc}-p& p\\ -yp& xp\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}px& py\\ -p& -p\end{array}\right)$

Igualando elemento a elemento y teniendo en cuenta que la igualdad debe valer para toda matriz antisimétrica, es decir, para todo $p$ (podemos suponer $p\mathrm{\ne }0$ y simplificar):

$\{\begin{array}{l}-p=px\Rightarrow x=-1\\ p=py\Rightarrow y=1\\ -yp=-p\Rightarrow y=1\\ xp=-p\Rightarrow x=-1\end{array}$

Las cuatro condiciones son compatibles, luego $x=-1$ e $y=1$.



Con esos valores, $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$. Agrupamos en el primer miembro los términos con la incógnita y sacamos $M$ como factor común por la derecha.

$2M+AM=A^{-1}\Rightarrow (2I+A)M=A^{-1}\Rightarrow M=(2I+A{)}^{-1}{A}^{-1}$

Calculamos las dos inversas que hacen falta.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\mid =1+1=2\mathrm{\ne }0\Rightarrow A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$

$2I+A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 3\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }2I+A\mathrm{\mid }=9+1=10\mathrm{\ne }0\Rightarrow (2I+A{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{10}}\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 3\end{array}\right)$

$M={\displaystyle \frac{1}{10}}\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 3\end{array}\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{20}}\left(\begin{array}{cc}3-1& -3-1\\ 1+3& -1+3\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{20}}\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 4& 2\end{array}\right)$

Finalmente, $M={\displaystyle \frac{1}{10}}\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right)$.