Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Galicia · 2022

1. Números y Álgebra

a) Obtenga la matriz antisimétrica $A$ de orden $2\times 2$ tal que $a_{12}=1$. Luego, calcule su inversa en caso de que exista. Nota: $a_{ij}$ es el elemento que está en la fila $i$ y en la columna $j$ de $A$.
b) Sea $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$. Si $B=\left(\begin{array}{cc}0& b_{12}\\ 1& b_{22}\end{array}\right)$, halle los valores de $b_{12}$ y de $b_{22}$ sabiendo que $B$ no tiene inversa y que $\det (A^{-1}B+A)=-1$.

Una matriz es antisimétrica cuando $A^T=-A$. Escribiendo la condición elemento a elemento, $a_{ji}=-a_{ij}$, resulta que los elementos de la diagonal cumplen $a_{ii}=-a_{ii}$ y por tanto son nulos, mientras que los otros dos son opuestos.

$A=\left(\begin{array}{cc}0& a_{12}\\ -a_{12}& 0\end{array}\right)$

Con el dato $a_{12}=1$:

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$

Comprobamos si es invertible y, en su caso, calculamos la inversa.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\mid =0-(-1)=1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{\exists }{A}^{-1}$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}\left(A^T\right)={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

Obsérvese que $A^{-1}=-A=A^T$: la matriz es ortogonal.



La primera condición se traduce en que el determinante de $B$ se anule.

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}0& b_{12}\\ 1& b_{22}\end{array}\mid =0\cdot b_{22}-b_{12}\cdot 1=-b_{12}=0\Rightarrow b_{12}=0$

Con ese valor, $B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& b_{22}\end{array}\right)$. Calculamos el producto que aparece en la segunda condición.

$A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& b_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -b_{22}\\ 0& 0\end{array}\right)$

$A^{-1}B+A=\left(\begin{array}{cc}-1& -b_{22}\\ 0& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1-b_{22}\\ -1& 0\end{array}\right)$

Imponemos que su determinante valga $-1$:

$\det (A^{-1}B+A)=(-1)\cdot 0-(1-b_{22})(-1)=1-b_{22}=-1$

$b_{22}=2$

Los valores buscados son $b_{12}=0$ y $b_{22}=2$, es decir, $B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 2\end{array}\right)$, que efectivamente tiene determinante nulo.