Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

B.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Como es bien sabido, la siguiente igualdad de determinantes

$\det (A+B)=\det A+\det B$

no es cierta en general.

a) (0.75 puntos) Si $A$ y $B$ son dos matrices para las que $\det (A+B)=\det A+\det B$, pruebe que entonces

$\det ((A+B{)}^2)=\det (A^2)+\det (B^2)+2\det (AB)$.

b) (1 punto) Dadas las matrices

$C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ \alpha & 1& 0\\ 2& -1& \alpha \end{array}\right),D=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 2\\ -1& 2& 1\end{array}\right)$,

determine el único valor de $\alpha$ con el que sí se cumple la igualdad $\det (C+D)=\det C+\det D$.

c) (0.75 puntos) Para el valor $\alpha =-1$, resuelva el sistema homogéneo de ecuaciones lineales que tiene a $C$ como matriz de coeficientes.

Toda la demostración se apoya en una sola propiedad: el determinante de un producto de matrices cuadradas es el producto de los determinantes. Aplicándola al cuadrado del primer miembro:

$\det ((A+B{)}^2)=(\det (A+B){)}^2$

Usamos ahora la hipótesis y desarrollamos el cuadrado del binomio, que ya son números reales.

$(\det (A+B){)}^2=(\det A+\det B{)}^2=(\det A{)}^2+(\det B{)}^2+2\det A\det B$

Deshacemos cada término con la misma propiedad del producto.

$(\det A{)}^2=\det (A^2);(\det B{)}^2=\det (B^2);\det A\det B=\det (AB)$

$\det ((A+B{)}^2)=\det (A^2)+\det (B^2)+2\det (AB)$



Calculamos por separado los tres determinantes que intervienen.

$C+D=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ \alpha +2& 2& 2\\ 1& 1& \alpha +1\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{\mid }C+D\mathrm{\mid }=2[2(\alpha +1)-2]=4\alpha$

$\mathrm{\mid }C\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ \alpha & 1& 0\\ 2& -1& \alpha \end{array}\mid =2\alpha +2;\mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 2\\ -1& 2& 1\end{array}\mid =2$

Imponemos la igualdad y despejamos.

$4\alpha =2\alpha +2+2\Rightarrow 2\alpha =4\Rightarrow \alpha =2$



Sustituimos y comprobamos primero el rango, porque de él depende el tipo de solución.

$C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ -1& 1& 0\\ 2& -1& -1\end{array}\right),\mathrm{\mid }C\mathrm{\mid }=2(-1)+2=0$

Un sistema homogéneo siempre es compatible; al anularse el determinante el rango es 2, menor que el número de incógnitas, luego es indeterminado con un grado de libertad.

$\{\begin{array}{l}x-z=0\\ -x+y=0\end{array}\Rightarrow z=x,y=x$

La tercera ecuación no aporta nada, como se comprueba sustituyendo: $2x-x-x=0$.

$(x,y,z)=(\lambda ,\lambda ,\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$