Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Galicia · 2020

1. Números y Álgebra:
Sean $A$ y $B$ las dos matrices que cumplen $A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 0& 0\end{array}\right)$ y $A-B=\left(\begin{array}{cc}0& -4\\ 4& -2\end{array}\right)$. Se pide:

a) Calcular $A^2-B^2$. (Advertencia: en este caso, $A^2-B^2\mathrm{\ne }(A+B)(A-B)$.)
b) Calcular la matriz $X$ que cumple la igualdad $XA+(A+B{)}^T=2I+XB$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2 y $(A+B{)}^T$ la traspuesta de $A+B$.

Antes de nada despejamos las dos matrices del sistema que forman los datos. Sumando y restando las dos igualdades:

$(A+B)+(A-B)=2A\Rightarrow A={\displaystyle \frac{1}{2}}[\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 0& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& -4\\ 4& -2\end{array}\right)]={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 4& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\end{array}\right)$

$(A+B)-(A-B)=2B\Rightarrow B={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}2& 8\\ -4& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ -2& 1\end{array}\right)$



$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

$B^2=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ -2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1-8& 4+4\\ -2-2& -8+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-7& 8\\ -4& -7\end{array}\right)$

$A^2-B^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}-7& 8\\ -4& -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& -8\\ 4& 8\end{array}\right)$

La advertencia del enunciado se comprueba sin más que hacer el otro producto:

$(A+B)(A-B)=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -4\\ 4& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}16& -16\\ 0& 0\end{array}\right)\mathrm{\ne }{A}^2-B^2$

La identidad $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$ solo vale cuando las matrices conmutan, porque al desarrollar aparece $-AB+BA$, que aquí no se anula.



Agrupamos los términos con la incógnita, que en ambos casos multiplica por la izquierda, y sacamos $X$ como factor común.

$XA-XB=2I-(A+B{)}^T\Rightarrow X(A-B)=2I-(A+B{)}^T$

$(A+B{)}^T=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 4& 0\end{array}\right)\Rightarrow 2I-(A+B{)}^T=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 4& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ -4& 2\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A-B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}0& -4\\ 4& -2\end{array}\mid =0+16=16\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{\exists }(A-B{)}^{-1}$

$(A-B{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{16}}\left(\begin{array}{cc}-2& 4\\ -4& 0\end{array}\right)$

$X=[2I-(A+B{)}^T](A-B{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ -4& 2\end{array}\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{16}}\left(\begin{array}{cc}-2& 4\\ -4& 0\end{array}\right)$

$X={\displaystyle \frac{1}{16}}\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 8-8& -16\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{16}}\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -16\end{array}\right)$

Finalmente, $X=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$.