Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

B.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 2\\ 2& 1& -1\\ 1& 0& 1\end{array}\right),I=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. Se pide:

a) (1 puntos) Calcular, si es posible, la inversa de la matriz $A$.
b) (0.5 puntos) Calcular la matriz $C=A^2-2I$.
c) (1 punto) Calcular el determinante de la matriz $D=AB{B}^t$ (donde $B^t$ denota la matriz traspuesta de $B$).

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Calcular,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{posible,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}$

Comprobamos primero que el determinante no se anula, que es la condición para que exista la inversa. Lo desarrollamos por la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}0& -1& 2\\ 2& 1& -1\\ 1& 0& 1\end{array}\mid =0\cdot 1+1\cdot (2+1)+2\cdot (0-1)=1\mathrm{\ne }0$

Como el determinante vale 1, la inversa es directamente la traspuesta de la matriz de cofactores.

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{(\mathrm{adj}A)}^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -3& -2& 4\\ -1& -1& 2\end{array}\right)$



$A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 2\\ 2& 1& -1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 2\\ 2& 1& -1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 3\\ 1& -1& 2\\ 1& -1& 3\end{array}\right)$

Restar $2I$ es restar 2 a cada elemento de la diagonal principal.

$C=A^2-2I=\left(\begin{array}{ccc}-2& -1& 3\\ 1& -3& 2\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$



$B$ es de orden $3\times 2$, así que $B{B}^t$ es cuadrada de orden 3 y el producto tiene sentido.

$B{B}^t=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& 2& -1\\ 2& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$

$D=AB{B}^t=\left(\begin{array}{ccc}-4& -1& 2\\ 13& 5& -3\\ 4& 2& 0\end{array}\right)$

No hace falta desarrollar el determinante: el rango de un producto no supera el de sus factores, y $B$ solo tiene dos columnas, así que $B{B}^t$ no puede tener rango 3.

$\mathrm{rg}\left(B{B}^t\right)\le 2\Rightarrow \mid B{B}^t\mid =0\Rightarrow \mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\cdot \mid B{B}^t\mid =0$