Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

B. 1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Se consideran las matrices reales

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& k\\ k& 1& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

a) (1 punto) Calcule para qué valores del parámetro $k$ tiene inversa la matriz $AB$. Calcule la matriz inversa de $AB$ para $k=1$.
b) (1 punto) Calcule $BA$ y discuta su rango en función del valor del parámetro real $k$.
c) (0.5 puntos) En el caso $k=1$, escriba un sistema incompatible de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes sea $BA$.

$A$ es de orden $2\times 3$ y $B$ de orden $3\times 2$, así que el producto es cuadrado de orden 2 y tiene sentido preguntarse por su inversa.

$AB=\left(\begin{array}{cc}k& 2\\ k& k-1\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }=k(k-1)-2k=k^2-3k=k(k-3)$

Una matriz cuadrada tiene inversa cuando su determinante no se anula.

$k\mathrm{\ne }0\text{ y }k\mathrm{\ne }3$

Para $k=1$ el determinante vale $-2$ y aplicamos la fórmula de la inversa de una matriz de orden dos.

$AB=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\right)\Rightarrow (AB{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-2}}\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$



Ahora el producto sale de orden 3.

$BA=\left(\begin{array}{ccc}k+1& 0& k-1\\ 1-k& -2& k+1\\ 1& -1& k\end{array}\right)$

Las filas no son independientes: sumando las dos primeras se obtiene el doble de la tercera, sea cual sea $k$.

$F_1+F_2=(2,-2,2k)=2F_3\Rightarrow \mathrm{\mid }BA\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \mathrm{rg}(BA)\le 2$

Queda ver si el rango llega a 2. El menor formado por las dos primeras filas y las columnas primera y tercera no se anula nunca.

$\mid \begin{array}{cc}k+1& k-1\\ 1-k& k+1\end{array}\mid =(k+1{)}^2+(k-1{)}^2=2k^2+2>0$

El rango de $BA$ vale 2 para todo valor de $k$.



Como el rango de la matriz de coeficientes es 2, basta elegir términos independientes que rompan la misma relación que cumplen las filas: si $F_1+F_2=2F_3$, el sistema será incompatible en cuanto $b_1+b_2\mathrm{\ne }2b_3$.

$BA=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& -2& 2\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$

$\{\begin{array}{l}2x=1\\ -2y+2z=-1\\ x-y+z=1\end{array}$

Con esos términos independientes, $1+(-1)=0\mathrm{\ne }2$, de modo que el rango de la ampliada es 3 y el sistema es incompatible.