Matemáticas II · Matrices · Comunidad Valenciana · 2023

Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Problema 2.

Dadas las matrices A=(101011), B=(1112−10) y C=(0α−α20):

a) Obtener la matriz (ABT+I)−1, donde I es la matriz identidad de las dimensiones adecuadas para realizar la operación. (6 puntos)
b) Comprobar que C2=−α3I, donde I es la matriz identidad, y calcular C13. (4 puntos)

Solución

a) Obtener la matriz (ABT+I)−1, donde I es la matriz identidad de las dimensiones adecuadas para realizar la operacioˊn. (6 puntos)

B=(1112−10)⇒BT=(121−110)⇒ABT=(101011)(121−110)=(222−1)

ABT+I=(222−1)+(1001)=(3220)

Calculemos el determinante de ABT+I

∣ABT+I∣=∣3220∣=−4≠0⇒∃(ABT+I)−1

Calculemos la inversa de ABT+I

(ABt+I)−1=1det⁡(ABt+I) [Adj⁡(ABt+I)]t

Adj(ABt+I)=(    ∣0∣−∣2∣−∣2∣    ∣3∣)=(0−2−23)

[Adj(ABt+I)]t=(0−2−23)

det⁡(ABt+I)=∣3220∣=−4

⇒(ABt+I)−1=1−4(0−2−23)=(01212−34)

Solución:

(ABT+I)−1=(01/21/2−3/4)

b) Comprobar que C2=−α3I, donde I es la matriz identidad, y calcular C13. (4 puntos)

C2=(0αα20)(0α−α20)=(−α300α3)=−α3I

Comprobado que C2=α3I

Cálculo de C13

Utilizamos el resultado obtenido antes (C2=α3I)

C13=C12C=(α3I)6C=α18C

Luego,

C13=(0α19−α200)

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