Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

2. Números y Álgebra:
Discuta, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema: $\{\begin{array}{rcrcrcr}mx& +& y& & & =& 2m,\\ x& & & +& z& =& 0,\\ x& +& my& & & =& 0.\end{array}$

$\mathbf{\text{Discuta,}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{sistema.}}$

Llamamos $M$ a la matriz de coeficientes y $M^{\ast }$ a la ampliada, y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$M=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& m& 0\end{array}\right)M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}m& 1& 0& 2m\\ 1& 0& 1& 0\\ 1& m& 0& 0\end{array}\right)$

Desarrollamos el determinante por la tercera columna, que solo tiene un elemento no nulo.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=-1\cdot \mid \begin{array}{cc}m& 1\\ 1& m\end{array}\mid =-(m^2-1)=-(m-1)(m+1)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=1\\ m=-1\end{array}$

Si $m\mathrm{\ne }1$ y $m\mathrm{\ne }-1$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$ y el sistema es compatible determinado.

Si $m=1$, la matriz ampliada es:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 2\\ 1& 0& 1& 0\\ 1& 1& 0& 0\end{array}\right)$

En $M$ la primera y la tercera fila son iguales, luego el rango no llega a 3; y el menor

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

En $M^{\ast }$ esas dos filas dejan de ser iguales, porque sus términos independientes valen 2 y 0. Orlamos:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 0& 0\\ 1& 1& 0\end{array}\mid =0+0+2-0-0-0=2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=3$

$\mathrm{ran}(M)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(M^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

Si $m=-1$, la matriz ampliada es:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-1& 1& 0& -2\\ 1& 0& 1& 0\\ 1& -1& 0& 0\end{array}\right)$

Ahora la tercera fila de $M$ es la opuesta de la primera y, con el menor

$\mid \begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 0\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

Pero los términos independientes no respetan esa relación, pues el opuesto de $-2$ es 2 y no 0. Orlando:

$\mid \begin{array}{ccc}-1& 1& -2\\ 1& 0& 0\\ 1& -1& 0\end{array}\mid =0+0+2-0-0-0=2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=3$

$\mathrm{ran}(M)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(M^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo valor de $m$ distinto de 1 y de $-1$, y es incompatible para $m=1$ y para $m=-1$.