Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

A.1. Calificación máxima: 2,5 puntos.

Se tienen listones de madera de tres longitudes diferentes: largos, intermedios y cortos. Puestos uno tras otro, tanto con dos listones largos y cuatro intermedios como con tres intermedios y quince cortos se consigue la misma longitud total. Un listón largo supera en 17 cm la medida de uno intermedio más uno corto. Y con nueve listones cortos hemos de añadir 7 cm para igualar la longitud de uno intermedio seguido por uno largo. Se pide calcular la longitud de cada tipo de listón.

$\mathbf{\text{A.1.}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{list}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Llamamos $x$ a la longitud del listón largo, $y$ a la del intermedio e $z$ a la del corto, todas en centímetros, y traducimos a ecuaciones las tres condiciones del enunciado.

Poner los listones uno tras otro es sumar sus longitudes, así que las dos tiras miden lo mismo.

$2x+4y=3y+15z\Rightarrow 2x+y-15z=0$

Que el largo supere en 17 cm a un intermedio más un corto se escribe así:

$x=y+z+17$

Y que a nueve cortos haya que añadirles 7 cm para igualar un intermedio seguido de un largo:

$9z+7=y+x$

Resolvemos por sustitución, llevando la segunda ecuación a las otras dos.

$2(y+z+17)+y-15z=0\Rightarrow 3y-13z+34=0$

$9z+7=y+(y+z+17)\Rightarrow 8z=2y+10\Rightarrow y=4z-5$

Sustituimos esta última expresión en la primera:

$3(4z-5)-13z+34=0\Rightarrow -z+19=0\Rightarrow z=19$

$y=4\cdot 19-5=71,x=71+19+17=107$

Comprobamos la primera condición, que es la que no se ha usado para despejar: $2\cdot 107+4\cdot 71=498$ y $3\cdot 71+15\cdot 19=498$.

El listón largo mide 107 cm, el intermedio 71 cm y el corto 19 cm.