Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

2. Números y Álgebra:
Discuta, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema: $\{\begin{array}{rcrcr}(m+3)x& -& m^{2}y& =& 3m,\\ (m+3)x& +& my& =& 3m+6.\end{array}$

$\mathbf{\text{Discuta,}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{sistema.}}$

Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Llamamos $M$ a la matriz de coeficientes y $M^{\ast }$ a la ampliada, y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$M=\left(\begin{array}{cc}m+3& -m^2\\ m+3& m\end{array}\right)M^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}m+3& -m^2& 3m\\ m+3& m& 3m+6\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=(m+3)m-(-m^2)(m+3)=(m+3)(m+m^2)=m(m+1)(m+3)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=0\\ m=-1\\ m=-3\end{array}$

Si $m\mathrm{\ne }0$, $m\mathrm{\ne }-1$ y $m\mathrm{\ne }-3$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=2=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$ y el sistema es compatible determinado.

Si $m=0$, la matriz ampliada es:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 3& 0& 6\end{array}\right)$

Las dos filas de $M$ son iguales, luego $\mathrm{ran}(M)=1$; pero en $M^{\ast }$ el menor

$\mid \begin{array}{cc}3& 0\\ 3& 6\end{array}\mid =18\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=2$

$\mathrm{ran}(M)=1\mathrm{\ne }2=\mathrm{ran}(M^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

Si $m=-1$, la matriz ampliada es:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& -3\\ 2& -1& 3\end{array}\right)$

De nuevo las dos filas de $M$ coinciden, luego $\mathrm{ran}(M)=1$, y en $M^{\ast }$

$\mid \begin{array}{cc}2& -3\\ 2& 3\end{array}\mid =6+6=12\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=2$

$\mathrm{ran}(M)=1\mathrm{\ne }2=\mathrm{ran}(M^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

Si $m=-3$, la matriz ampliada es:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}0& -9& -9\\ 0& -3& -3\end{array}\right)$

Ahora la segunda fila es un tercio de la primera, también en el término independiente, de modo que las dos ecuaciones son la misma.

$\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=1<2=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado}$

Queda una sola ecuación, $-9y=-9\Rightarrow y=1$, con $x$ libre:

$\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=1\end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

En resumen: compatible determinado si $m\mathrm{\ne }0,-1,-3$; incompatible si $m=0$ o $m=-1$; y compatible indeterminado con un parámetro si $m=-3$.