Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

A.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Tres hermanos quieren repartirse de forma equitativa un total de 540 acciones valoradas en 1560 euros, que corresponden a tres empresas A,B y C. Sabiendo que el valor actual en bolsa de la acción A es el triple que el de B y la mitad que el de C, que el número de acciones de C es la mitad que el de B y que el actual valor en bolsa de la acción B es 1 euro, encuentre el número de cada tipo de acción que le corresponde a cada hermano.

$\mathbf{\text{A.1.}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{acci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{corresponde}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{hermano.}}$

Llamamos $x$, $y$ e $z$ al número total de acciones de $A$, $B$ y $C$. Empezamos por los precios: si la de $B$ vale 1 euro, la de $A$ vale el triple, y esta a su vez es la mitad de la de $C$.

$p_B=1;p_A=3;p_C=2p_A=6$

Con eso, las tres condiciones del enunciado se escriben así:

$x+y+z=540$

$3x+y+6z=1560$

$z={\displaystyle \frac{y}{2}}\Rightarrow y=2z$

Sustituimos la tercera en las dos primeras.

$x+3z=540;3x+8z=1560$

Multiplicamos la primera por 3 y restamos.

$3x+9z=1620\Rightarrow z=1620-1560=60$

$y=2\cdot 60=120;x=540-180=360$

Comprobamos el valor total: $3\cdot 360+1\cdot 120+6\cdot 60=1080+120+360=1560$.

Como el reparto es equitativo, cada hermano se lleva la tercera parte de cada tipo: 120 acciones de $A$, 40 de $B$ y 20 de $C$.