Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

B.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

a) (0.75 puntos) Encuentre un único sistema de dos ecuaciones lineales en las variables $x$ e $y$, que tenga como soluciones $\{x=1,y=2\}\text{ y }\{x=0,y=0\}$.
b) (1 punto) Encuentre un sistema de dos ecuaciones lineales en las variables $x,y,z$, cuyas soluciones sean, en función del parámetro

$\lambda \in \mathbb{R}$: $\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=\lambda -2\\ z=\lambda -1\end{array}$.

c) (0.75 puntos) Encuentre un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas, $x$ e $y$, que solo tenga como solución $x=1\text{ e }y=2$.

Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que tenga más de una solución ha de ser compatible indeterminado, y como una de las soluciones es la trivial, tiene que ser homogéneo. Las dos soluciones dadas determinan la recta que las une.

$y=2x\Rightarrow 2x-y=0$

La segunda ecuación ha de ser proporcional a la primera para no añadir información; por ejemplo, el doble.

$\{\begin{array}{l}2x-y=0\\ 4x-2y=0\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{variables}}\mathit{x}\mathbf{\text{,}}\mathit{y}\mathbf{\text{y}}\mathit{z}\mathbf{\text{cuyas}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dadas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{.}}$

Las soluciones describen una recta en el espacio, que es lo que da un sistema de dos ecuaciones independientes con tres incógnitas. Basta eliminar el parámetro: como $x=\lambda$, lo sustituimos en las otras dos.

$y=\lambda -2=x-2\Rightarrow x-y=2$

$z=\lambda -1=x-1\Rightarrow x-z=1$

$\{\begin{array}{l}x-y=2\\ x-z=1\end{array}$



Con dos incógnitas, para que la solución sea única basta que el rango de la matriz de coeficientes sea 2; la tercera ecuación debe ser combinación de las otras dos para que el sistema siga siendo compatible.

$\{\begin{array}{l}2x-y=0\\ x+y=3\end{array}$

Añadimos como tercera ecuación la suma de las dos anteriores, que se cumple automáticamente.

$\{\begin{array}{l}2x-y=0\\ x+y=3\\ 2x+2y=6\end{array}$

Se comprueba que $x=1$, $y=2$ satisface las tres.