Matemáticas II · Integrales y Áreas · Comunidad Valenciana · 2025

Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2,5 puntos)

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.2 Dadas las funciones reales de variable real f(x)=1x2 y g(x)=8x, se pide:

4.2.1 (0.5 puntos) Hallar el dominio, las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f.
4.2.2 (0.25 puntos) Dibujar las gráficas de ambas funciones.
4.2.3 (1.75 puntos) Calcular el área del recinto delimitado por el eje de abscisas, la recta x=1 y las gráficas de las dos funciones y=f(x) e y=g(x).

Solución

f(x)=1x2;g(x)=8x

4.2.1 (0.5 puntos) Hallar el dominio, las asıˊntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioˊn f.

x2=0⇒x=0⇒Dom⁡(f(x))=R−{0}

A. Vertical:

lim⁡x→01x2=[10]⇒{lim⁡x→0−1x2=[10+]=+∞lim⁡x→0+1x2=[10+]=+∞

⇒x=0 es A. vertical

A. Horizontales:

lim⁡x→∞1x2=0lim⁡x→−∞1x2=0

y=0 es A. horizontal cuando x→∞ y tambieˊn cuando x→−∞ y no hay asıˊntota oblicua.

Monotonıˊa:

f′(x)=−2xx4=−2x3;f′(x)≠0∀x∈Dom⁡(f(x))





Figura del ejercicio




f(x) es creciente en (−∞,0)

f(x) es decreciente en (0,∞)





4.2.2 (0.25 puntos) Dibujar las graˊficas de ambas funciones.
4.2.3 (1.75 puntos) Calcular el aˊrea del recinto delimitado por el eje de abscisas, la recta x=1 y las graˊficas de las dos funciones y=f(x) e y=g(x).

Hacemos los dos apartados juntos y aprovechamos para representar el aˊrea del recinto del apartado c).

Con la informacioˊn anterior para f(x) y con una tabla de valores para g(x) (es maˊs que suficiente.

Punto de corte:f(x)=g(x)1x2=8xx=183=12





xf(x)=1x2
-11
11


xg(x)=8x
00
0,54






Figura del ejercicio





El recinto por tanto:





Figura del ejercicio




A=∫01/28x dx+∫1/211x2 dx=[4x2]01/2+[−1x]1/21

=(4⋅(12)2−0)+(−1+2)=2 u2



Más ejercicios de Integrales y Áreas

Ver todos los ejercicios de este examen de Matemáticas II de Comunidad Valenciana 2025

Ver este ejercicio en Hodeia — miles de ejercicios de selectividad resueltos y filtrables.