Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2,5 puntos)

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.1 Dados los planos ${\pi }_1:x+2y+mz=-1$, donde $m$ es un parámetro real, y ${\pi }_2:x+z=6$.

3.1.1 (0.5 puntos) Encontrar el valor de $m$, si existe, para el que ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$ son perpendiculares.
3.1.2 (1.25 puntos) Encontrar el valor de $m$ para el que ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$ forman un ángulo de 45 grados.
3.1.3 (0.75 puntos) Calcular la ecuación paramétrica de la recta intersección de ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$.

${\pi }_1:x+2y+mz=-1\Rightarrow {\vec{n}}_{{\pi }_1}=(1,2,m)$

${\pi }_2:x+z=6\Rightarrow {\vec{n}}_{{\pi }_2}=(1,0,1)$











$\text{Si }{\pi }_1\perp {\pi }_2\Rightarrow {\vec{n}}_{{\pi }_1}\cdot {\vec{n}}_{{\pi }_2}=0$

$(1,2,m)\cdot (1,0,1)=0$

$1+m=0$

$m=-1$
















$\cos ({45}^{\circ })=\frac{\mid {\vec{n}}_{{\pi }_1}\cdot {\vec{n}}_{{\pi }_2}\mid }{\mid {\vec{n}}_{{\pi }_1}\mid \cdot \mid {\vec{n}}_{{\pi }_2}\mid }\Rightarrow$

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\mathrm{\mid }(1,2,m)\cdot (1,0,1)\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+2^2+m^2}\cdot \sqrt{1^2+1^2}}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\mathrm{\mid }1+m\mathrm{\mid }}{\sqrt{m^2+5}\cdot \sqrt{2}}\Rightarrow \mathrm{\mid }1+m\mathrm{\mid }=\sqrt{m^2+5}$

$(1+m{)}^2=m^2+5\Rightarrow 1+2m+m^2=m^2+5$

$2m=4\Rightarrow m=2$







$\text{c) Las ecuaciones impl}\acute{\text{ı}}\text{citas de }r\text{ son}r:\{\begin{array}{l}x+2y+mz=-1\\ x+z=6\end{array}$

$\text{Y resolviendo el sistema:}$

$z=\lambda \in \mathbb{R}\Rightarrow x=6-\lambda$

$6-\lambda +2y+m\lambda =-1$

$2y=-7+\lambda -m\lambda \Rightarrow y=-\frac{7}{2}+\left(\frac{1-m}{2}\right)\lambda$

$\text{Las ecuaciones param}\acute{\text{e}}\text{tricas pedidas, por tanto:}$

$r:\{\begin{array}{l}x=6-\lambda \\ y=-\frac{7}{2}+\left(\frac{1-m}{2}\right)\lambda \\ z=\lambda \end{array}$