Matemáticas II · Análisis · Comunidad Valenciana · 2025

Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas II · 2025

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2,5 puntos)

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.1 Dada la función real de variable real
f(x)=xx2+1,
se pide:

4.1.1 (0.5 puntos) Hallar el dominio, las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f.
4.1.2 (1.5 puntos) Calcular, si existen, los valores máximos y mínimos relativos y absolutos de la función f.
4.1.3 (0.5 puntos) Representar la función f.

Solución

f(x)=xx2+1

4.1.1 (0.5 puntos) Hallar el dominio, las asıˊntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcioˊn f.

Como x2+1≠0∀x∈R⇒Dom⁡(f(x))=R

Asıˊntotas verticales:

No tiene por estar definida en R

Asıˊntotas horizontales:

{lim⁡x→∞xx2+1=[∞∞]=0lim⁡x→−∞xx2+1=[∞∞]=0y=0 es A. horizontal tanto cuando x→∞ como cuando x→−∞

y por tanto, no hay A. oblicuas

4.1.2 (1.5 puntos) Calcular, si existen, los valores maˊximos y mıˊnimos relativos y absolutos de la funcioˊn f.

f′(x)=1⋅(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2=−x2+1(x2+1)2

f′(x)=0⇒−x2+1(x2+1)2=0⇒x2=1⇒{x=−1x=1





Figura del ejercicio




f(x) es creciente ∀x∈(−1,1)

f(x) es decreciente ∀x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)

Mıˊnimo relativo en x=−1⇒Min⁡(−1,f(−1))=(−1,−12)

Maˊximo relativo en x=1⇒Maˊx⁡(1,f(1))=(1,12)





Ademaˊs, del estudio de la monotonıˊa de la funcioˊn y de los lıˊmites lim⁡x→−∞f(x)=0 y lim⁡x→∞f(x)=0

calculados anteriormente, es faˊcil razonar que f(x) estaˊ acotada seguˊn −12≤f(x)≤12 y que por tanto los extremos relativos anteriores son tambieˊn extremos absolutos. Asıˊ:

4.1.3 (0.5 puntos) Representar la funcioˊn f.

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